Страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Найдите площадь кругового кольца (рис. 23.5), заключенного между двумя концентрическими окружностями с радиусами 1 и 2.

Рис. 23.5

Площадь кругового кольца вычисляется как разность площадей большего и меньшего кругов, которые его образуют. Площадь круга находится по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга.

В данной задаче нам даны два концентрических круга с радиусами $R = 2$ (радиус большего круга) и $r = 1$ (радиус меньшего круга).

1. Найдем площадь большего круга ($S_{большого}$):
$S_{большого} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

2. Найдем площадь меньшего круга ($S_{малого}$):
$S_{малого} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.

3. Теперь найдем площадь кругового кольца ($S_{кольца}$) как разность площадей этих кругов:
$S_{кольца} = S_{большого} - S_{малого} = 4\pi - \pi = 3\pi$.

Можно также использовать общую формулу для площади кругового кольца:
$S_{кольца} = \pi(R^2 - r^2)$.
Подставим наши значения:
$S_{кольца} = \pi(2^2 - 1^2) = \pi(4 - 1) = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.

8. Толщина проволоки 6 мм. Найдите площадь ее сечения.

Поперечное сечение проволоки представляет собой круг. Толщина проволоки, как правило, соответствует ее диаметру. Таким образом, нам нужно найти площадь круга с диаметром 6 мм.

1. Найдем радиус сечения. Радиус ($r$) равен половине диаметра ($d$): $r = \frac{d}{2} = \frac{6 \text{ мм}}{2} = 3 \text{ мм}$

2. Найдем площадь сечения. Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле: $S = \pi r^2$

Подставим значение радиуса в формулу: $S = \pi \cdot (3 \text{ мм})^2 = 9\pi \text{ мм}^2$

Для получения численного ответа можно использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$: $S \approx 9 \cdot 3.14 = 28.26 \text{ мм}^2$

В качестве точного ответа принято оставлять выражение с числом $\pi$.

Ответ: $9\pi \text{ мм}^2$.

9. Найдите площадь основания юрты (рис. 23.6), если его диаметр равен: а) 5 м; б) 10 м.

Рис. 23.6

Основание юрты представляет собой круг. Площадь круга $S$ вычисляется по формуле через его диаметр $d$: $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

а) По условию, диаметр основания юрты равен $d = 5$ м. Подставим это значение в формулу площади круга: $S = \frac{\pi \cdot 5^2}{4} = \frac{25\pi}{4} = 6,25\pi$ м².
Ответ: $6,25\pi$ м².

б) По условию, диаметр основания юрты равен $d = 10$ м. Подставим это значение в формулу площади круга: $S = \frac{\pi \cdot 10^2}{4} = \frac{100\pi}{4} = 25\pi$ м².
Ответ: $25\pi$ м².

10. Найдите площадь круга, описанного около:

а) равностороннего треугольника;

б) квадрата;

в) правильного шестиугольника со стороной 1.

а) Площадь круга, описанного около многоугольника, находится по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ – радиус описанной окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. В условии задачи сторона $a=1$. Тогда радиус $R = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Найдем площадь круга: $S = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3}{9} = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б) Для квадрата со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ равен половине его диагонали $d$. Диагональ квадрата вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. При $a=1$, диагональ $d=\sqrt{2}$. Следовательно, радиус $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь найдем площадь круга: $S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

в) Для правильного шестиугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ равен его стороне, то есть $R=a$. Так как по условию $a=1$, то и $R=1$. Найдем площадь круга: $S = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.
Ответ: $\pi$

11. Найдите площадь круга, вписанного в:

а) равносторонний треугольник;

б) квадрат;

в) правильный шестиугольник со стороной 1.

а) Для нахождения площади вписанного круга необходимо знать его радиус $r$. Формула площади круга: $S = \pi r^2$. Поскольку в условии задачи сторона указана только для шестиугольника, будем считать, что сторона для всех фигур равна 1. Пусть сторона равностороннего треугольника $a = 1$.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, можно найти по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ или $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Подставим значение стороны $a = 1$:
$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Теперь найдем площадь круга:
$S = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3}{36} = \frac{\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{\pi}{12}$.

б) Рассмотрим квадрат со стороной $a=1$. Диаметр круга, вписанного в квадрат, равен стороне квадрата, то есть $d = a$. Радиус $r$ вписанного круга равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$.
При $a = 1$, радиус равен:
$r = \frac{1}{2}$.
Вычислим площадь вписанного круга:
$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

в) Рассмотрим правильный шестиугольник со стороной $a=1$, как указано в условии. Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности (также называемый апофемой) равен высоте равностороннего треугольника, из шести которых состоит шестиугольник. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, радиус вписанной окружности $r = h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставим значение стороны $a = 1$:
$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь вычислим площадь круга:
$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

Тельник, з) квадрат, в) правильный шестиугольник со стороной 1.

12. Найдите радиус окружности, которая делит круг радиусом 1 на две равновеликие части — кольцо и круг.

Пусть $R$ — это радиус исходного большого круга, а $r$ — это радиус искомой окружности, которая делит большой круг на две части. Согласно условию задачи, $R = 1$.

Площадь всего круга вычисляется по формуле $S_{общ} = \pi R^2$. Подставив значение радиуса $R=1$, получим общую площадь:$S_{общ} = \pi \cdot 1^2 = \pi$.

По условию, искомая окружность делит большой круг на две равновеликие (то есть равные по площади) части: внутренний круг и внешнее кольцо. Это означает, что площадь внутреннего круга должна быть равна половине общей площади большого круга.

Площадь внутреннего круга с радиусом $r$ равна $S_{внутр} = \pi r^2$.

Приравняем площадь внутреннего круга к половине общей площади:$S_{внутр} = \frac{1}{2} S_{общ}$
$\pi r^2 = \frac{1}{2} \pi$

Для нахождения $r$ решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на $\pi$:$r^2 = \frac{1}{2}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как радиус является положительной величиной, мы берем только положительное значение корня:$r = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Чтобы представить ответ в стандартном виде, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$r = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

13. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 23.7. Стороны клеток равны 1.

Рис. 23.7

Для нахождения площади фигуры воспользуемся методом декомпозиции. Введем систему координат так, чтобы левый нижний угол сетки, в которую вписана фигура, соответствовал началу координат (0, 0). Поскольку стороны клеток равны 1, мы можем определить координаты ключевых точек фигуры.
Фигура ограничена сверху дугой, соединяющей точки (0, 2) и (4, 2), и снизу двумя дугами, встречающимися в точке (2, 0).
Площадь фигуры можно представить как сумму площадей двух частей, разделенных горизонтальным отрезком, соединяющим точки (0, 2) и (4, 2).

1. Площадь верхней части.
Верхняя часть представляет собой сегмент круга, ограниченный дугой и хордой. Дуга соединяет точки (0, 2) и (4, 2) и имеет вершину в точке (2, 4). Длина хорды равна 4, а высота сегмента равна $4 - 2 = 2$. Это означает, что данный сегмент является полукругом с радиусом $r = 2$. Площадь этого полукруга вычисляется по формуле:
$S_{верх} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (2^2) = 2\pi$.

2. Площадь нижней части.
Нижняя часть ограничена сверху отрезком от (0, 2) до (4, 2), а снизу — двумя дугами. Площадь этой части можно найти, вычтя из площади прямоугольника с вершинами (0, 0), (4, 0), (4, 2), (0, 2) площади двух областей под дугами.
Площадь прямоугольника равна $S_{прям} = 4 \times 2 = 8$.
Левая нижняя дуга соединяет точки (0, 2) и (2, 0). Она является дугой окружности с центром в (0, 0) и радиусом $r=2$. Область под этой дугой (в первом квадранте) — это четверть круга. Ее площадь:
$S_{левая} = \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4}\pi(2^2) = \pi$.
Правая нижняя дуга соединяет точки (2, 0) и (4, 2). Она является дугой окружности с центром в (4, 0) и радиусом $r=2$. Область под этой дугой — это также четверть круга, площадь которой:
$S_{правая} = \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4}\pi(2^2) = \pi$.
Таким образом, площадь нижней части фигуры равна площади прямоугольника за вычетом площадей двух четвертей круга:
$S_{низ} = S_{прям} - S_{левая} - S_{правая} = 8 - \pi - \pi = 8 - 2\pi$.

3. Общая площадь.
Общая площадь фигуры равна сумме площадей верхней и нижней частей:
$S_{общая} = S_{верх} + S_{низ} = 2\pi + (8 - 2\pi) = 8$.

Альтернативное рассуждение: Фигуру можно получить из прямоугольника с вершинами (0, 0), (4, 0), (4, 2), (0, 2) (площадь 8), вырезав из него две четверти круга (суммарная площадь $2\pi$) и добавив сверху полукруг (площадь $2\pi$). Так как площадь добавленной части равна площади вырезанной, итоговая площадь фигуры равна площади исходного прямоугольника.

Ответ: 8.

14. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 23.8. Стороны клеток равны 1.

Рис. 23.8

Для нахождения площади фигуры воспользуемся методом декомпозиции. Фигура обладает центральной и осевой симметрией, что позволяет упростить вычисления.

Всю фигуру $F$ можно представить как объединение двух более простых фигур с последующей коррекцией площади в "угловых" областях.

1. Определение вспомогательных фигур

Рассмотрим две вспомогательные фигуры:

• Фигура V: состоит из центрального квадрата со стороной 2 и двух полукругов радиуса 1, пристроенных к верхней и нижней сторонам квадрата.
• Фигура H: состоит из того же центрального квадрата со стороной 2 и двух полукругов радиуса 1, пристроенных к левой и правой сторонам квадрата.

Площадь центрального квадрата $S_{кв} = 2 \times 2 = 4$.

Площадь полукруга радиуса $r=1$ равна $S_{пк} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi(1)^2 = \frac{\pi}{2}$.

Тогда площади фигур V и H равны:

$S_V = S_{кв} + 2 \cdot S_{пк} = 4 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 4 + \pi$.

$S_H = S_{кв} + 2 \cdot S_{пк} = 4 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 4 + \pi$.

2. Объединение вспомогательных фигур

Рассмотрим объединение этих фигур, $H \cup V$. Эта новая фигура представляет собой крест с закругленными концами. Ее площадь можно найти по формуле включений-исключений:

$S_{H \cup V} = S_H + S_V - S_{H \cap V}$

Пересечением фигур H и V является их общая часть — центральный квадрат, поэтому $S_{H \cap V} = S_{кв} = 4$.

$S_{H \cup V} = (4 + \pi) + (4 + \pi) - 4 = 4 + 2\pi$.

3. Сравнение фигуры $F$ и $H \cup V$

Фигура $H \cup V$ очень похожа на искомую фигуру $F$, но отличается в четырех угловых областях (между "лепестками"). У фигуры $H \cup V$ углы вогнутые и состоят из двух дуг полуокружностей радиуса 1. У искомой фигуры $F$ углы также вогнутые, но описываются одной дугой, которая является четвертью окружности радиуса 2.

При внимательном рассмотрении видно, что граница фигуры $F$ в этих угловых областях проходит "дальше" от центра, чем граница $H \cup V$. Это означает, что площадь фигуры $F$ больше площади $H \cup V$ на сумму площадей четырех одинаковых "наростов" (областей между границами двух фигур).

$S_F = S_{H \cup V} + 4 \cdot S_{нарост}$

4. Вычисление площади "нароста"

Рассмотрим область в первом координатном квадранте (где $x \ge 0, y \ge 0$). Площадь нароста можно найти как разность площадей соответствующих секторов фигур $F$ и $H \cup V$.

Площадь сектора фигуры $F$ в первом квадранте ($S_{F,1}$) — это область, ограниченная осями координат и дугой окружности с центром в точке (2,2) и радиусом 2. Такая область является квадратом 2x2, из которого вырезан сектор круга. Площадь этого вырезанного сектора равна площади квадрата 2х2 минус площадь четверти круга радиуса 2: $4 - \frac{1}{4}\pi(2)^2 = 4-\pi$. Таким образом, площадь сектора фигуры $F$ равна: $S_{F,1} = S_{квадрат2x2} - (4-\pi) = 4 - (4-\pi) = \pi$.

Площадь сектора фигуры $H \cup V$ в первом квадранте ($S_{HV,1}$) — это область, ограниченная осями координат и двумя дугами окружностей радиуса 1. Эта область состоит из квадрата 1x1 и двух четвертей круга радиуса 1. Ее площадь: $S_{HV,1} = S_{квадрат1x1} + 2 \cdot S_{четв.круга} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{4}\pi(1)^2 = 1 + \frac{\pi}{2}$.

Площадь одного "нароста" — это разность этих площадей:

$S_{нарост} = S_{F,1} - S_{HV,1} = \pi - (1 + \frac{\pi}{2}) = \pi - 1 - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1$.

5. Итоговая площадь

Теперь мы можем найти площадь исходной фигуры $F$:

$S_F = S_{H \cup V} + 4 \cdot S_{нарост} = (4 + 2\pi) + 4 \cdot (\frac{\pi}{2} - 1) = 4 + 2\pi + 2\pi - 4 = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$.

15. Дерево имеет в обхвате 120 см. Найдите примерную площадь поперечного сечения (в см$^\text{2}$), имеющего форму круга (примите $\Pi \approx 3$).

15. По условию задачи, обхват дерева равен 120 см. Поперечное сечение дерева имеет форму круга, следовательно, обхват — это длина окружности этого круга.

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2 \cdot \pi \cdot r$, где $r$ — это радиус круга.

Нам дано, что $C = 120$ см и $\pi \approx 3$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти радиус $r$ поперечного сечения:

$120 \approx 2 \cdot 3 \cdot r$

$120 \approx 6 \cdot r$

Отсюда находим радиус:

$r \approx \frac{120}{6} = 20$ см.

Теперь нужно найти площадь поперечного сечения $S$. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi \cdot r^2$.

Подставим найденное значение радиуса $r = 20$ см и значение $\pi \approx 3$ в формулу площади:

$S \approx 3 \cdot (20)^2$

$S \approx 3 \cdot 400$

$S \approx 1200$ см².

Ответ: 1200 см².

16. Две трубы, диаметры которых равны 10 см и 24 см, требуется заменить одной, не изменяя их пропускной способности. Каким должен быть диаметр новой трубы?

Пропускная способность трубы пропорциональна площади ее поперечного сечения. Поперечное сечение трубы представляет собой круг. Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус. Если использовать диаметр $d$, то формула площади выглядит так: $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Согласно условию, пропускная способность новой трубы должна быть равна сумме пропускных способностей двух заменяемых труб. Это означает, что площадь поперечного сечения новой трубы ($S_{нов}$) должна быть равна сумме площадей поперечных сечений двух старых труб ($S_1$ и $S_2$).

Обозначим диаметры старых труб как $d_1 = 10$ см и $d_2 = 24$ см, а искомый диаметр новой трубы как $d_{нов}$.

Составим уравнение на основе равенства площадей:

$S_{нов} = S_1 + S_2$

Подставим в это уравнение формулу площади через диаметр:

$\frac{\pi d_{нов}^2}{4} = \frac{\pi d_1^2}{4} + \frac{\pi d_2^2}{4}$

Можно упростить это уравнение, умножив обе его части на $\frac{4}{\pi}$:

$d_{нов}^2 = d_1^2 + d_2^2$

Теперь подставим числовые значения диаметров $d_1$ и $d_2$:

$d_{нов}^2 = 10^2 + 24^2$

$d_{нов}^2 = 100 + 576$

$d_{нов}^2 = 676$

Для нахождения диаметра новой трубы $d_{нов}$ извлечем квадратный корень из 676:

$d_{нов} = \sqrt{676} = 26$ см.

Следовательно, диаметр новой трубы должен составлять 26 см, чтобы сохранить общую пропускную способность.

Ответ: 26 см.