Страница 137 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Стрелок из лука видит мишень диаметром 120 см под углом $1^{\circ}$. Найдите расстояние до мишени. Укажите приближенное значение, выражаемое целым числом метров (примите $\pi \approx 3$).

Для решения этой задачи мы можем представить стрелка как наблюдателя в центре воображаемой окружности. Расстояние от стрелка до мишени будет радиусом этой окружности $L$, а диаметр мишени $d$ — длиной дуги $l$, которую видно под углом $\alpha$. Такое допущение справедливо, так как угол зрения $\alpha$ очень мал ($1^\circ$), и при малых углах длина хорды (диаметр) приблизительно равна длине дуги.

Нам даны следующие значения:

• Диаметр мишени: $d = 120 \text{ см} = 1.2 \text{ м}$
• Угол, под которым видна мишень: $\alpha = 1^\circ$
• Приближенное значение числа пи: $\pi \approx 3$

Длина дуги окружности $l$ связана с ее радиусом $L$ и центральным углом $\alpha$ (выраженным в градусах) следующей формулой:$l = \frac{2 \pi L \alpha}{360^\circ}$

Поскольку мы приняли, что $l \approx d$, мы можем подставить известные значения в формулу и выразить искомое расстояние $L$:$d \approx \frac{2 \pi L \alpha}{360^\circ}$$L \approx \frac{d \cdot 360^\circ}{2 \pi \alpha}$

Теперь подставим числовые значения в полученное выражение:$L \approx \frac{1.2 \text{ м} \cdot 360^\circ}{2 \cdot 3 \cdot 1^\circ}$

Произведем вычисления:$L \approx \frac{1.2 \cdot 360}{6} = 1.2 \cdot 60 = 72 \text{ м}$

Таким образом, приближенное расстояние до мишени, выраженное целым числом метров, составляет 72 м.

Ответ: 72 м.

30. Луна видна с Земли под углом $0,5^\circ$. Найдите приближенное расстояние до Луны, зная, что ее диаметр приближенно равен 3400 км. В ответе укажите целое число километров (примите $\pi \approx 3$).

Для решения этой задачи воспользуемся моделью, в которой диаметр Луны можно рассматривать как длину дуги окружности. Наблюдатель на Земле находится в центре этой окружности, а ее радиусом является искомое расстояние до Луны. Для малых углов, каким является угловой размер Луны, эта аппроксимация является достаточно точной.

Связь между длиной дуги ($D$), радиусом ($L$) и центральным углом, выраженным в радианах ($\alpha_{рад}$), описывается формулой:

$D \approx L \cdot \alpha_{рад}$

Из этой формулы мы можем выразить расстояние до Луны $L$:

$L \approx \frac{D}{\alpha_{рад}}$

Нам даны следующие значения:

Диаметр Луны $D = 3400$ км.

Угловой размер Луны $\alpha = 0,5^{\circ}$.

Приближенное значение числа $\pi \approx 3$.

Первым шагом необходимо перевести угловой размер Луны из градусов в радианы по формуле $\alpha_{рад} = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}$.

Подставляем известные значения:

$\alpha_{рад} \approx 0,5 \cdot \frac{3}{180} = \frac{1,5}{180} = \frac{15}{1800} = \frac{1}{120}$ радиан.

Теперь мы можем рассчитать приблизительное расстояние до Луны $L$, подставив значения $D$ и $\alpha_{рад}$ в нашу формулу:

$L \approx \frac{3400 \text{ км}}{\frac{1}{120}} = 3400 \cdot 120 = 408000$ км.

Согласно условию, в ответе необходимо указать целое число километров. Полученное значение является целым.

Ответ: 408000.

31. Солнце видно с Земли под углом $0.5^\circ$. Найдите приближенное расстояние до Солнца, зная, что его диаметр приближенно равен 1300000 км. В ответе укажите целое число километров (примите $\pi \approx 3$).

Для нахождения приближенного расстояния до Солнца $L$ можно использовать соотношение, связывающее угловой размер объекта, его линейный размер (диаметр) и расстояние до него. Поскольку угловой размер Солнца $\alpha = 0,5^\circ$ очень мал, можно применить аппроксимацию, в которой диаметр Солнца $D$ рассматривается как длина дуги окружности. Радиусом этой окружности является искомое расстояние от Земли до Солнца $L$, а центральным углом — угловой размер Солнца $\alpha$, выраженный в радианах.
Длина дуги $s$ вычисляется по формуле $s = r \cdot \theta$, где $r$ — радиус, а $\theta$ — центральный угол в радианах.
В нашем случае, принимая $D \approx s$, $L=r$ и $\alpha_{rad} = \theta$, получаем формулу: $D \approx L \cdot \alpha_{rad}$.
Отсюда можно выразить расстояние $L$: $L \approx \frac{D}{\alpha_{rad}}$.
Исходные данные:
Диаметр Солнца $D = 1300000$ км.
Угловой размер Солнца $\alpha = 0,5^\circ$.
Используем приближение $\pi \approx 3$.
Первым шагом переведем угловой размер Солнца из градусов в радианы:
$\alpha_{rad} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0,5 \cdot \frac{3}{180} = \frac{1,5}{180} = \frac{15}{1800} = \frac{1}{120}$ радиан.
Теперь подставим известные значения в формулу для вычисления расстояния $L$:
$L \approx \frac{1300000 \text{ км}}{\frac{1}{120}} = 1300000 \cdot 120 \text{ км} = 156000000 \text{ км}$.
В задаче требуется указать целое число километров.
Ответ: 156000000.

32. Используя циркуль и линейку, постройте правильный:
а) треугольник;
б) четырехугольник;
в) шестиугольник.

а) треугольник

Построение правильного (равностороннего) треугольника выполняется следующим образом:

1. С помощью линейки проведите произвольный отрезок. Обозначим его концы буквами A и B. Этот отрезок будет одной из сторон будущего треугольника.
2. Возьмите циркуль и установите его раствор равным длине отрезка AB.
3. Установите иглу циркуля в точку A и проведите дугу окружности радиусом AB.
4. Не меняя раствора циркуля, установите его иглу в точку B и проведите еще одну дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения дуг обозначим буквой C.
5. С помощью линейки соедините точку C с точками A и B.

В результате мы получили треугольник ABC. По построению, $AC = AB$ и $BC = AB$. Таким образом, все три стороны треугольника равны: $AB = BC = AC$. Треугольник, у которого все стороны равны, является правильным.

Ответ: Построен треугольник ABC, который является правильным, так как все его стороны равны.

б) четырехугольник

Построение правильного четырехугольника (квадрата) выполняется следующим образом:

1. С помощью линейки проведите произвольный отрезок AB, который будет одной из сторон квадрата.
2. Постройте прямую, перпендикулярную отрезку AB и проходящую через точку A. Для этого:
а) Установите иглу циркуля в точку A и проведите дугу, пересекающую отрезок AB в точке M и его продолжение за точку А в точке N.
б) Увеличьте раствор циркуля. Постройте две дуги с центрами в точках M и N так, чтобы они пересекались. Точку их пересечения обозначим K.
в) С помощью линейки проведите луч AK. Этот луч перпендикулярен отрезку AB.
3. Установите раствор циркуля равным длине отрезка AB.
4. Установите иглу циркуля в точку A и отложите на луче AK отрезок, равный AB. Точку пересечения дуги и луча обозначим D. Мы получили сторону AD, равную и перпендикулярную AB.
5. Не меняя раствора циркуля, установите иглу в точку D и проведите дугу.
6. Затем установите иглу циркуля в точку B и проведите еще одну дугу так, чтобы она пересеклась с дугой из точки D. Точку пересечения обозначим C.
7. С помощью линейки соедините точку C с точками B и D.

В результате мы получили четырехугольник ABCD. По построению, $AB \perp AD$, и все стороны равны $AB = AD = DC = CB$. Четырехугольник с равными сторонами и прямым углом является квадратом, то есть правильным четырехугольником.

Ответ: Построен четырехугольник ABCD, который является правильным (квадратом).

в) шестиугольник

Построение правильного шестиугольника основано на свойстве, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности.

1. Выберите на плоскости произвольную точку O — центр будущей окружности.
2. С помощью циркуля проведите окружность произвольного радиуса R с центром в точке O.
3. Выберите на окружности произвольную точку A. Это будет первая вершина шестиугольника.
4. Не меняя раствор циркуля (он должен оставаться равным радиусу R), установите иглу в точку A и проведите дугу, пересекающую окружность. Точку пересечения обозначим B.
5. Переместите иглу циркуля в точку B и снова проведите дугу, пересекающую окружность в новой точке C.
6. Повторяйте этот шаг, последовательно находя точки D, E и F. После шести таких шагов последняя дуга, проведенная из точки F, должна пересечь окружность в исходной точке A.
7. С помощью линейки последовательно соедините точки A, B, C, D, E, F.

Полученная фигура ABCDEF является правильным шестиугольником, так как все его стороны равны радиусу описанной окружности ($AB = BC = CD = DE = EF = FA = R$), и, следовательно, все его внутренние углы также равны.

Ответ: Построен шестиугольник ABCDEF, который является правильным.

33. Повторите понятие площади.

Понятие площади

Площадь — это положительная величина, численная характеристика, которая сопоставляется плоским геометрическим фигурам. Проще говоря, площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины (например, квадратный метр, квадратный сантиметр).

Основные свойства площади:

1. Равные фигуры имеют равные площади. Если две фигуры можно совместить наложением (конгруэнтны), то их площади равны.

2. Площадь всегда неотрицательна. Площадь любой фигуры является положительным числом, либо нулем (для точки или отрезка).

3. Аддитивность. Если фигура разбита на несколько непересекающихся (не имеющих общих внутренних точек) фигур, то её общая площадь равна сумме площадей её частей.

4. Нормировка. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице.

Формулы для вычисления площадей основных геометрических фигур:

Прямоугольник: Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Если стороны равны $a$ и $b$, то площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = a \cdot b$

Квадрат: Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами. Если сторона квадрата равна $a$, то его площадь $S$ равна:
$S = a^2$

Треугольник:
- Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Если основание равно $a$, а высота — $h_a$, то:
$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$
- Формула Герона (если известны все три стороны $a, b, c$):
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.
- Через две стороны и угол между ними ($\gamma$):
$S = \frac{1}{2} ab \sin\gamma$

Параллелограмм: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию.
$S = a \cdot h_a$
Также площадь можно найти как произведение двух смежных сторон на синус угла между ними:
$S = ab \sin\alpha$

Трапеция: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Если основания равны $a$ и $b$, а высота — $h$, то:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Ромб:
- Через диагонали $d_1$ и $d_2$: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
- Через сторону $a$ и угол $\alpha$ между сторонами:
$S = a^2 \sin\alpha$

Круг: Площадь круга радиусом $R$ вычисляется по формуле:
$S = \pi R^2$, где $\pi \approx 3.14159$ — математическая константа.

Ответ: В ответе представлен развернутый обзор понятия площади, её основных свойств и формул для вычисления площадей ключевых геометрических фигур.

34. Найдите площади правильных шестиугольников, вписанного и описанного около окружности, радиусом 1.

вписанного
Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус этой окружности $R$ (называемый радиусом описанной окружности) равен стороне шестиугольника $a$.
По условию задачи, радиус окружности равен 1, то есть $R=1$. Следовательно, сторона вписанного шестиугольника $a = 1$.
Правильный шестиугольник можно разбить на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника.
Площадь одного такого равностороннего треугольника $S_{\triangle}$ вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставляя $a=1$, получаем площадь одного треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Площадь всего шестиугольника $S_{впис}$ равна сумме площадей шести таких треугольников:
$S_{впис} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

описанного
Для правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус этой окружности $r$ (называемый радиусом вписанной окружности) является апофемой шестиугольника. Апофема — это перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на его сторону. В случае правильного шестиугольника, апофема равна высоте одного из 6 равносторонних треугольников, на которые можно его разбить.
По условию, радиус окружности равен 1, то есть $r=1$.
Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ связана со стороной формулой: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
В нашем случае высота треугольника равна радиусу вписанной окружности: $h = r = 1$.
$1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда находим сторону описанного шестиугольника $a$:
$a = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Теперь найдем площадь шестиугольника. Площадь правильного многоугольника можно вычислить как половину произведения его периметра $P$ на радиус вписанной окружности $r$: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$.
Периметр $P = 6a = 6 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$.
Подставляем значения в формулу площади:
$S_{опис} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.