Страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. На сколько нужно уменьшить радиус окружности, чтобы ее длина уменьшилась на:

а) $1 \text{ см}$;

б) $2 \text{ см}$;

в) $5 \text{ см}$?

Длина окружности $C$ и ее радиус $R$ связаны формулой $C = 2 \pi R$. Эта формула показывает, что длина окружности прямо пропорциональна ее радиусу.

Пусть начальный радиус окружности был $R_1$, а ее длина $C_1 = 2 \pi R_1$. После уменьшения радиуса на некоторую величину $\Delta R$, новый радиус стал $R_2 = R_1 - \Delta R$. Новая длина окружности стала $C_2 = 2 \pi R_2 = 2 \pi (R_1 - \Delta R)$.

Изменение длины окружности, $\Delta C$, равно разности начальной и конечной длин: $\Delta C = C_1 - C_2 = 2 \pi R_1 - 2 \pi (R_1 - \Delta R) = 2 \pi R_1 - 2 \pi R_1 + 2 \pi \Delta R = 2 \pi \Delta R$.

Из полученного соотношения $\Delta C = 2 \pi \Delta R$ мы можем выразить, на сколько нужно уменьшить радиус ($\Delta R$), если известно, на сколько уменьшилась длина окружности ($\Delta C$): $\Delta R = \frac{\Delta C}{2 \pi}$.

Теперь, используя эту формулу, найдем искомые величины для каждого случая.

а) Длина окружности уменьшилась на 1 см, то есть $\Delta C = 1$ см. Величина, на которую нужно уменьшить радиус: $\Delta R = \frac{1}{2 \pi}$ см.
Ответ: радиус нужно уменьшить на $\frac{1}{2 \pi}$ см.

б) Длина окружности уменьшилась на 2 см, то есть $\Delta C = 2$ см. Величина, на которую нужно уменьшить радиус: $\Delta R = \frac{2}{2 \pi} = \frac{1}{\pi}$ см.
Ответ: радиус нужно уменьшить на $\frac{1}{\pi}$ см.

в) Длина окружности уменьшилась на 5 см, то есть $\Delta C = 5$ см. Величина, на которую нужно уменьшить радиус: $\Delta R = \frac{5}{2 \pi}$ см.
Ответ: радиус нужно уменьшить на $\frac{5}{2 \pi}$ см.

15. Найдите длину окружности, описанной около:

а) правильного треугольника;

б) квадрата;

в) правильного шестиугольника со стороной 1.

а) Для нахождения длины окружности $C$, описанной около правильного треугольника, воспользуемся формулой $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Сторона треугольника $a=1$. Радиус описанной около правильного треугольника окружности связан со стороной соотношением $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставив $a=1$, получаем $R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Теперь найдем длину окружности:
$C = 2\pi R = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$.

б) Для квадрата со стороной $a=1$ диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата. Диагональ квадрата $d$ вычисляется по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Так как $a=1$, то $d = \sqrt{2}$.
Радиус описанной окружности $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.
$C = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$.
Ответ: $\pi\sqrt{2}$.

в) Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности $R$ равен его стороне $a$. Это следует из того, что правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности.
Так как сторона шестиугольника $a=1$, то радиус описанной окружности $R = 1$.
Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.
$C = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

16. Найдите длину окружности, вписанной в:

а) правильный треугольник;

б) квадрат;

в) правильный шестиугольник со стороной 1.

Для нахождения длины окружности (C) используется формула $C = 2\pi r$, где $r$ - радиус окружности. В случае окружности, вписанной в правильный многоугольник, ее радиус $r$ (называемый также апофемой) можно найти, зная сторону многоугольника $a$ и количество его сторон $n$. Общая формула для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{a}{2 \tan(180^\circ/n)}$. Во всех случаях сторона многоугольника $a = 1$.

а) правильный треугольник

Для правильного треугольника число сторон $n=3$. Подставляем значения в формулу для радиуса:

$r = \frac{1}{2 \tan(180^\circ/3)} = \frac{1}{2 \tan(60^\circ)}$

Зная, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$r = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

Теперь находим длину окружности:

$C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{3}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$C = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$.

б) квадрат

Для квадрата число сторон $n=4$. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны. Так как сторона $a=1$, то радиус:

$r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь находим длину окружности:

$C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$

Ответ: $\pi$.

в) правильный шестиугольник со стороной 1

Для правильного шестиугольника число сторон $n=6$. Подставляем значения в формулу для радиуса:

$r = \frac{1}{2 \tan(180^\circ/6)} = \frac{1}{2 \tan(30^\circ)}$

Зная, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$r = \frac{1}{2 \cdot (1/\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь находим длину окружности:

$C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3}$

Ответ: $\pi\sqrt{3}$.

17. Найдите длину кривой, ограничивающей фигуру, изображенную на рисунке 22.6. Стороны клеток равны 1.

Рис. 22.6

Для нахождения длины кривой, ограничивающей фигуру, разобьем ее на три отдельные дуги. Примем сторону клетки за 1 и введем декартову систему координат. Исходя из рисунка, разместим ключевые точки фигуры в следующих координатах: левая точка A(0, 2), правая точка B(4, 2) и нижняя точка C(2, 0).

Верхняя дуга. Эта дуга соединяет точки A(0, 2) и B(4, 2). Она выпукла вверх, и из анализа сетки видно, что ее центром является точка C(2, 0). Найдем радиус $R_1$ этой окружности как расстояние от центра C до точки A: $R_1 = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Чтобы найти длину дуги, нам нужен центральный угол $\theta_1$, который она образует. Этот угол находится между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$. $\vec{CA} = \{0-2; 2-0\} = \{-2; 2\}$ $\vec{CB} = \{4-2; 2-0\} = \{2; 2\}$ Найдем скалярное произведение этих векторов: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-2)(2) + (2)(2) = -4 + 4 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, и угол между ними $\theta_1 = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. Длина верхней дуги $L_1$ вычисляется по формуле $L = R \cdot \theta$: $L_1 = R_1 \cdot \theta_1 = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\sqrt{2}$.

Нижняя левая дуга. Эта дуга соединяет точки A(0, 2) и C(2, 0). По рисунку ее центр находится в точке $C_2(2, 2)$. Найдем радиус $R_2$ как расстояние от центра $C_2$ до точки A: $R_2 = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$. Центральный угол $\theta_2$ — это угол между векторами $\vec{C_2A}$ и $\vec{C_2C}$. $\vec{C_2A} = \{0-2; 2-2\} = \{-2; 0\}$ $\vec{C_2C} = \{2-2; 0-2\} = \{0; -2\}$ Их скалярное произведение также равно нулю: $\vec{C_2A} \cdot \vec{C_2C} = (-2)(0) + (0)(-2) = 0$. Следовательно, угол $\theta_2 = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. Длина нижней левой дуги $L_2$ равна: $L_2 = R_2 \cdot \theta_2 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$.

Нижняя правая дуга. Эта дуга соединяет точки B(4, 2) и C(2, 0). Вся фигура симметрична относительно вертикальной прямой $x=2$. Это означает, что нижняя правая дуга является зеркальным отражением нижней левой дуги. Поэтому ее длина $L_3$ равна длине $L_2$: $L_3 = \pi$.

Общая длина кривой. Чтобы найти общую длину кривой L, необходимо сложить длины всех трех составляющих ее дуг: $L = L_1 + L_2 + L_3 = \pi\sqrt{2} + \pi + \pi = 2\pi + \pi\sqrt{2}$. Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки для упрощения выражения: $L = \pi(2 + \sqrt{2})$.

Ответ: $\pi(2 + \sqrt{2})$

18. Найдите длину кривой, ограничивающей фигуру, изображенную на рисунке 22.7. Стороны клеток равны 1.

Рис. 22.7

Кривая, ограничивающая фигуру, состоит из двух типов дуг: четырех больших выпуклых дуг (выступов) и четырех малых вогнутых дуг (впадин).

1. Анализ выпуклых дуг (выступов):

Рассмотрим один из выступов, например, верхний. Он симметричен и вписывается в прямоугольник размером 2 на 1 клетку. Это означает, что каждый такой выступ является полуокружностью, диаметр которой равен 2 сторонам клетки. Так как сторона клетки равна 1, диаметр полуокружности $d = 2$.

Радиус такой полуокружности равен $r_1 = d / 2 = 2 / 2 = 1$.

Длина одной полуокружности вычисляется по формуле $L_{полуокр} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r = \pi r$.

Подставляя значение радиуса $r_1 = 1$, получаем длину одного выступа: $L_1 = \pi \cdot 1 = \pi$.

Фигура имеет четыре таких идентичных выступа, поэтому их общая длина составляет: $L_{выступы} = 4 \cdot L_1 = 4\pi$.

2. Анализ вогнутых дуг (впадин):

Рассмотрим одну из впадин, например, в левом верхнем углу фигуры. Эта дуга представляет собой скругление внутреннего угла. Она вписывается в квадрат со стороной 1 клетка. Следовательно, каждая такая впадина является дугой в четверть окружности (квадрантом).

Радиус этой дуги равен стороне квадрата, то есть $r_2 = 1$.

Длина дуги в четверть окружности вычисляется по формуле $L_{четв} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi r = \frac{\pi r}{2}$.

Подставляя значение радиуса $r_2 = 1$, получаем длину одной впадины: $L_2 = \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Фигура имеет четыре таких идентичных впадины, поэтому их общая длина составляет: $L_{впадины} = 4 \cdot L_2 = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$.

3. Общая длина кривой:

Общая длина кривой, ограничивающей фигуру, равна сумме длин всех ее составляющих частей (четырех выступов и четырех впадин).

$L_{общая} = L_{выступы} + L_{впадины} = 4\pi + 2\pi = 6\pi$.

Ответ: $6\pi$.

19. Какой длины должна быть хорда $AB$ окружности радиусом 1, чтобы длины дуг, на которые она разбивает окружность, относились как 2 : 1?

Пусть $R$ — радиус окружности. По условию задачи, $R=1$. Длина всей окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi R$. Для данной окружности $L = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$.

Хорда $AB$ делит окружность на две дуги. Обозначим их длины как $l_1$ и $l_2$. Сумма их длин равна длине всей окружности: $l_1 + l_2 = 2\pi$.

Согласно условию, отношение длин этих дуг равно $2:1$. Пусть $l_1$ — это большая дуга, а $l_2$ — меньшая. Тогда можно записать: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2}{1}$, откуда $l_1 = 2l_2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$l_1 + l_2 = 2\pi$

$l_1 = 2l_2$

Подставим второе уравнение в первое:

$2l_2 + l_2 = 2\pi$

$3l_2 = 2\pi$

$l_2 = \frac{2\pi}{3}$

Это длина меньшей дуги. Длина большей дуги, соответственно, $l_1 = 2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Длина хорды $AB$ определяется центральным углом, который она стягивает. Хорда стягивает меньшую дугу $l_2$. Найдем величину центрального угла $\alpha$, соответствующего этой дуге. Длина дуги связана с центральным углом (в радианах) формулой $l = \alpha R$.

Отсюда $\alpha = \frac{l_2}{R} = \frac{2\pi/3}{1} = \frac{2\pi}{3}$ радиан. В градусной мере это $\frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OAB$, где $O$ — центр окружности, а $OA$ и $OB$ — радиусы. Этот треугольник является равнобедренным, так как $OA = OB = R = 1$. Угол при вершине $O$ равен центральному углу $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.

Длину хорды $AB$ можно найти, используя теорему косинусов для треугольника $\triangle OAB$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha)$

$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\frac{2\pi}{3})$

Мы знаем, что $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение:

$AB^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$

Следовательно, длина хорды $AB$ равна $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

20. Вообразите, что земной шар плотно обтянут по экватору веревкой. На сколько нужно увеличить длину веревки, чтобы ее можно было поднять над поверхностью Земли по всей длине на расстояние 1 м?

Для решения этой задачи нам нужно сравнить длину веревки в двух состояниях: когда она плотно облегает Землю и когда она поднята над поверхностью на 1 метр.

Пусть радиус Земли по экватору равен $R$.

1. Изначально веревка плотно облегает Землю. Ее длина, $L_1$, равна длине окружности экватора. Формула длины окружности: $C = 2 \pi r$. Таким образом, начальная длина веревки:$L_1 = 2 \pi R$

2. Теперь представим, что веревка поднята над поверхностью Земли на 1 метр по всей своей длине. Это означает, что веревка образует новую, большую окружность, радиус которой стал больше на 1 метр. Новый радиус $R_{new}$ будет равен:$R_{new} = R + 1$ м

Новая длина веревки, $L_2$, будет соответствовать длине этой новой окружности:$L_2 = 2 \pi R_{new} = 2 \pi (R + 1)$

3. Чтобы найти, на сколько нужно увеличить длину веревки, нужно найти разницу между новой длиной $L_2$ и начальной длиной $L_1$:$\Delta L = L_2 - L_1$

Подставим выражения для $L_1$ и $L_2$:$\Delta L = 2 \pi (R + 1) - 2 \pi R$

Раскроем скобки:$\Delta L = 2 \pi R + 2 \pi \cdot 1 - 2 \pi R$

Члены $2 \pi R$ и $-2 \pi R$ взаимно уничтожаются, и у нас остается:$\Delta L = 2 \pi \cdot 1$ м

Таким образом, увеличение длины веревки равно $2 \pi$ метров. Важно отметить, что этот результат не зависит от радиуса Земли.

Рассчитаем приближенное значение:$\Delta L = 2 \pi \approx 2 \cdot 3.14159 \approx 6.28$ м

Ответ: длину веревки нужно увеличить на $2\pi$ метров, что составляет примерно 6,28 метра.

21. Для шестиугольника ABCDEF, вписанного в окружность, найдите сумму углов $A$, $C$ и $E$ (рис. 22.8).

Рис. 22.8

Пусть дан шестиугольник $ABCDEF$, вписанный в окружность. Необходимо найти сумму его углов через один, то есть $ \angle A + \angle C + \angle E $. В терминах вершин, это сумма углов $ \angle FAB + \angle BCD + \angle DEF $.

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных углов. Проведем диагонали, соединяющие вершины шестиугольника через одну: $AC$, $CE$ и $EA$. Эти диагонали образуют вписанный в ту же окружность треугольник $ACE$.

Каждый из углов шестиугольника $A$, $C$ и $E$ можно представить как сумму трех углов, образованных проведенными диагоналями:

$ \angle A = \angle FAB = \angle FAE + \angle EAC + \angle CAB $

$ \angle C = \angle BCD = \angle BCA + \angle ACE + \angle ECD $

$ \angle E = \angle DEF = \angle DEC + \angle CEA + \angle AEF $

Найдем сумму этих трех углов:

$ \angle A + \angle C + \angle E = (\angle FAE + \angle EAC + \angle CAB) + (\angle BCA + \angle ACE + \angle ECD) + (\angle DEC + \angle CEA + \angle AEF) $

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить сумму углов треугольника $ \triangle ACE $:

$ \angle A + \angle C + \angle E = (\angle EAC + \angle ACE + \angle CEA) + (\angle FAE + \angle CAB + \angle BCA + \angle ECD + \angle DEC + \angle AEF) $

Первая группа слагаемых $ (\angle EAC + \angle ACE + \angle CEA) $ является суммой внутренних углов треугольника $ \triangle ACE $. Сумма углов любого треугольника равна $ 180^\circ $, следовательно:

$ \angle EAC + \angle ACE + \angle CEA = 180^\circ $

Вторая группа слагаемых $ (\angle FAE + \angle CAB + \angle BCA + \angle ECD + \angle DEC + \angle AEF) $ представляет собой сумму шести углов, вписанных в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $ \angle FAE $ опирается на дугу $FE$, $ \angle CAB $ — на дугу $CB$, $ \angle BCA $ — на дугу $AB$, $ \angle ECD $ — на дугу $ED$, $ \angle DEC $ — на дугу $DC$, и $ \angle AEF $ — на дугу $AF$.

Сумма этих углов равна половине суммы градусных мер дуг, на которые они опираются:

$ \frac{1}{2}(\text{дуга }FE + \text{дуга }CB + \text{дуга }AB + \text{дуга }ED + \text{дуга }DC + \text{дуга }AF) $

Перечисленные дуги $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ в совокупности образуют полную окружность, сумма градусных мер которой составляет $ 360^\circ $. Таким образом, сумма углов во второй группе равна:

$ \frac{1}{2} \times 360^\circ = 180^\circ $

Наконец, чтобы найти искомую сумму углов $ \angle A + \angle C + \angle E $, сложим значения, полученные для обеих групп:

$ \angle A + \angle C + \angle E = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ $

Ответ: $360^\circ$.

22. Для правильного двенадцатиугольника, стороны которого равны 1, найдите радиусы описанной и вписанной окружностей (рис. 22.9).

Рис. 22.9

Радиус описанной окружности
Радиус $R$ описанной окружности для правильного n-угольника со стороной $a$ находится по формуле: $R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$.
Для правильного двенадцатиугольника $n=12$, а сторона по условию $a=1$.
Подставим эти значения: $R = \frac{1}{2 \sin(\frac{180^\circ}{12})} = \frac{1}{2 \sin(15^\circ)}$.
Чтобы найти $\sin(15^\circ)$, воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Теперь подставим найденное значение в формулу для $R$:
$R = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6} + \sqrt{2})$:
$R = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $R = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.

Радиус вписанной окружности
Радиус $r$ вписанной окружности для правильного n-угольника со стороной $a$ находится по формуле: $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$.
При $n=12$ и $a=1$ получаем: $r = \frac{1}{2 \tan(\frac{180^\circ}{12})} = \frac{1}{2 \tan(15^\circ)}$.
Чтобы найти $\tan(15^\circ)$, воспользуемся формулой тангенса разности: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$.
$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:
$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Теперь подставим найденное значение в формулу для $r$:
$r = \frac{1}{2(2 - \sqrt{3})}$.
И снова избавимся от иррациональности в знаменателе:
$r = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2(4 - 3)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $r = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$.