Номер 14, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. На сколько нужно уменьшить радиус окружности, чтобы ее длина уменьшилась на:

а) $1 \text{ см}$;

б) $2 \text{ см}$;

в) $5 \text{ см}$?

Длина окружности $C$ и ее радиус $R$ связаны формулой $C = 2 \pi R$. Эта формула показывает, что длина окружности прямо пропорциональна ее радиусу.

Пусть начальный радиус окружности был $R_1$, а ее длина $C_1 = 2 \pi R_1$. После уменьшения радиуса на некоторую величину $\Delta R$, новый радиус стал $R_2 = R_1 - \Delta R$. Новая длина окружности стала $C_2 = 2 \pi R_2 = 2 \pi (R_1 - \Delta R)$.

Изменение длины окружности, $\Delta C$, равно разности начальной и конечной длин: $\Delta C = C_1 - C_2 = 2 \pi R_1 - 2 \pi (R_1 - \Delta R) = 2 \pi R_1 - 2 \pi R_1 + 2 \pi \Delta R = 2 \pi \Delta R$.

Из полученного соотношения $\Delta C = 2 \pi \Delta R$ мы можем выразить, на сколько нужно уменьшить радиус ($\Delta R$), если известно, на сколько уменьшилась длина окружности ($\Delta C$): $\Delta R = \frac{\Delta C}{2 \pi}$.

Теперь, используя эту формулу, найдем искомые величины для каждого случая.

а) Длина окружности уменьшилась на 1 см, то есть $\Delta C = 1$ см. Величина, на которую нужно уменьшить радиус: $\Delta R = \frac{1}{2 \pi}$ см.
Ответ: радиус нужно уменьшить на $\frac{1}{2 \pi}$ см.

б) Длина окружности уменьшилась на 2 см, то есть $\Delta C = 2$ см. Величина, на которую нужно уменьшить радиус: $\Delta R = \frac{2}{2 \pi} = \frac{1}{\pi}$ см.
Ответ: радиус нужно уменьшить на $\frac{1}{\pi}$ см.

в) Длина окружности уменьшилась на 5 см, то есть $\Delta C = 5$ см. Величина, на которую нужно уменьшить радиус: $\Delta R = \frac{5}{2 \pi}$ см.
Ответ: радиус нужно уменьшить на $\frac{5}{2 \pi}$ см.