Номер 15, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Найдите длину окружности, описанной около:

а) правильного треугольника;

б) квадрата;

в) правильного шестиугольника со стороной 1.

а) Для нахождения длины окружности $C$, описанной около правильного треугольника, воспользуемся формулой $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Сторона треугольника $a=1$. Радиус описанной около правильного треугольника окружности связан со стороной соотношением $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставив $a=1$, получаем $R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Теперь найдем длину окружности:
$C = 2\pi R = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$.

б) Для квадрата со стороной $a=1$ диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата. Диагональ квадрата $d$ вычисляется по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Так как $a=1$, то $d = \sqrt{2}$.
Радиус описанной окружности $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.
$C = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$.
Ответ: $\pi\sqrt{2}$.

в) Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности $R$ равен его стороне $a$. Это следует из того, что правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности.
Так как сторона шестиугольника $a=1$, то радиус описанной окружности $R = 1$.
Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.
$C = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.