Номер 16, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Найдите длину окружности, вписанной в:

а) правильный треугольник;

б) квадрат;

в) правильный шестиугольник со стороной 1.

Для нахождения длины окружности (C) используется формула $C = 2\pi r$, где $r$ - радиус окружности. В случае окружности, вписанной в правильный многоугольник, ее радиус $r$ (называемый также апофемой) можно найти, зная сторону многоугольника $a$ и количество его сторон $n$. Общая формула для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{a}{2 \tan(180^\circ/n)}$. Во всех случаях сторона многоугольника $a = 1$.

а) правильный треугольник

Для правильного треугольника число сторон $n=3$. Подставляем значения в формулу для радиуса:

$r = \frac{1}{2 \tan(180^\circ/3)} = \frac{1}{2 \tan(60^\circ)}$

Зная, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$r = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

Теперь находим длину окружности:

$C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{3}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$C = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$.

б) квадрат

Для квадрата число сторон $n=4$. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны. Так как сторона $a=1$, то радиус:

$r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь находим длину окружности:

$C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$

Ответ: $\pi$.

в) правильный шестиугольник со стороной 1

Для правильного шестиугольника число сторон $n=6$. Подставляем значения в формулу для радиуса:

$r = \frac{1}{2 \tan(180^\circ/6)} = \frac{1}{2 \tan(30^\circ)}$

Зная, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$r = \frac{1}{2 \cdot (1/\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь находим длину окружности:

$C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3}$

Ответ: $\pi\sqrt{3}$.