Номер 19, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Какой длины должна быть хорда $AB$ окружности радиусом 1, чтобы длины дуг, на которые она разбивает окружность, относились как 2 : 1?

Пусть $R$ — радиус окружности. По условию задачи, $R=1$. Длина всей окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi R$. Для данной окружности $L = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$.

Хорда $AB$ делит окружность на две дуги. Обозначим их длины как $l_1$ и $l_2$. Сумма их длин равна длине всей окружности: $l_1 + l_2 = 2\pi$.

Согласно условию, отношение длин этих дуг равно $2:1$. Пусть $l_1$ — это большая дуга, а $l_2$ — меньшая. Тогда можно записать: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2}{1}$, откуда $l_1 = 2l_2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$l_1 + l_2 = 2\pi$

$l_1 = 2l_2$

Подставим второе уравнение в первое:

$2l_2 + l_2 = 2\pi$

$3l_2 = 2\pi$

$l_2 = \frac{2\pi}{3}$

Это длина меньшей дуги. Длина большей дуги, соответственно, $l_1 = 2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Длина хорды $AB$ определяется центральным углом, который она стягивает. Хорда стягивает меньшую дугу $l_2$. Найдем величину центрального угла $\alpha$, соответствующего этой дуге. Длина дуги связана с центральным углом (в радианах) формулой $l = \alpha R$.

Отсюда $\alpha = \frac{l_2}{R} = \frac{2\pi/3}{1} = \frac{2\pi}{3}$ радиан. В градусной мере это $\frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OAB$, где $O$ — центр окружности, а $OA$ и $OB$ — радиусы. Этот треугольник является равнобедренным, так как $OA = OB = R = 1$. Угол при вершине $O$ равен центральному углу $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.

Длину хорды $AB$ можно найти, используя теорему косинусов для треугольника $\triangle OAB$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha)$

$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\frac{2\pi}{3})$

Мы знаем, что $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение:

$AB^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$

Следовательно, длина хорды $AB$ равна $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.