Номер 25, страница 136 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Два спортсмена должны пробежать один круг по дорожке стадиона, форма которого — прямоугольник с примыкающими к нему с двух сторон полукругами (рис. 22.11). Один бежит по дорожке, расположенной на 2 м дальше от края, чем другой. Какое расстояние должно быть между ними на старте, чтобы компенсировать разность длин дорожек, по которым они бегут (примите $\pi \approx 3$)?

Рис. 22.11

Длина дорожки стадиона состоит из двух одинаковых прямых участков и двух одинаковых полукруглых участков. Разница в общей длине дистанции для двух спортсменов возникает только на полукруглых участках, так как прямые участки у них одинаковой длины.

Два полукруглых участка вместе образуют одну полную окружность. Пусть радиус окружности для внутреннего спортсмена равен $r$. Тогда длина этой окружности (сумма двух полукругов) вычисляется по формуле $C_1 = 2\pi r$.

Второй спортсмен бежит по дорожке, которая на 2 м дальше от края. Это означает, что радиус его окружности на 2 м больше, то есть $R = r + 2$. Длина его окружности будет $C_2 = 2\pi R = 2\pi(r + 2)$.

Разница в длинах окружностей и будет искомым расстоянием, которое необходимо для компенсации. Найдем эту разницу $\Delta C$:

$\Delta C = C_2 - C_1 = 2\pi(r + 2) - 2\pi r$

Раскроем скобки:

$\Delta C = 2\pi r + 4\pi - 2\pi r = 4\pi$

Таким образом, разница в длине дорожек составляет $4\pi$ метров.

По условию задачи, нужно принять значение $\pi \approx 3$. Подставим это значение:

$\Delta C = 4 \cdot 3 = 12$ м.

Следовательно, чтобы уравнять шансы, спортсмен на внешней дорожке должен стартовать на 12 метров впереди спортсмена на внутренней дорожке.

Ответ: 12 м.