Номер 18, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите длину кривой, ограничивающей фигуру, изображенную на рисунке 22.7. Стороны клеток равны 1.

Рис. 22.7

Кривая, ограничивающая фигуру, состоит из двух типов дуг: четырех больших выпуклых дуг (выступов) и четырех малых вогнутых дуг (впадин).

1. Анализ выпуклых дуг (выступов):

Рассмотрим один из выступов, например, верхний. Он симметричен и вписывается в прямоугольник размером 2 на 1 клетку. Это означает, что каждый такой выступ является полуокружностью, диаметр которой равен 2 сторонам клетки. Так как сторона клетки равна 1, диаметр полуокружности $d = 2$.

Радиус такой полуокружности равен $r_1 = d / 2 = 2 / 2 = 1$.

Длина одной полуокружности вычисляется по формуле $L_{полуокр} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r = \pi r$.

Подставляя значение радиуса $r_1 = 1$, получаем длину одного выступа: $L_1 = \pi \cdot 1 = \pi$.

Фигура имеет четыре таких идентичных выступа, поэтому их общая длина составляет: $L_{выступы} = 4 \cdot L_1 = 4\pi$.

2. Анализ вогнутых дуг (впадин):

Рассмотрим одну из впадин, например, в левом верхнем углу фигуры. Эта дуга представляет собой скругление внутреннего угла. Она вписывается в квадрат со стороной 1 клетка. Следовательно, каждая такая впадина является дугой в четверть окружности (квадрантом).

Радиус этой дуги равен стороне квадрата, то есть $r_2 = 1$.

Длина дуги в четверть окружности вычисляется по формуле $L_{четв} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi r = \frac{\pi r}{2}$.

Подставляя значение радиуса $r_2 = 1$, получаем длину одной впадины: $L_2 = \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Фигура имеет четыре таких идентичных впадины, поэтому их общая длина составляет: $L_{впадины} = 4 \cdot L_2 = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$.

3. Общая длина кривой:

Общая длина кривой, ограничивающей фигуру, равна сумме длин всех ее составляющих частей (четырех выступов и четырех впадин).

$L_{общая} = L_{выступы} + L_{впадины} = 4\pi + 2\pi = 6\pi$.

Ответ: $6\pi$.