Номер 17, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите длину кривой, ограничивающей фигуру, изображенную на рисунке 22.6. Стороны клеток равны 1.

Рис. 22.6

Для нахождения длины кривой, ограничивающей фигуру, разобьем ее на три отдельные дуги. Примем сторону клетки за 1 и введем декартову систему координат. Исходя из рисунка, разместим ключевые точки фигуры в следующих координатах: левая точка A(0, 2), правая точка B(4, 2) и нижняя точка C(2, 0).

Верхняя дуга. Эта дуга соединяет точки A(0, 2) и B(4, 2). Она выпукла вверх, и из анализа сетки видно, что ее центром является точка C(2, 0). Найдем радиус $R_1$ этой окружности как расстояние от центра C до точки A: $R_1 = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Чтобы найти длину дуги, нам нужен центральный угол $\theta_1$, который она образует. Этот угол находится между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$. $\vec{CA} = \{0-2; 2-0\} = \{-2; 2\}$ $\vec{CB} = \{4-2; 2-0\} = \{2; 2\}$ Найдем скалярное произведение этих векторов: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-2)(2) + (2)(2) = -4 + 4 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, и угол между ними $\theta_1 = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. Длина верхней дуги $L_1$ вычисляется по формуле $L = R \cdot \theta$: $L_1 = R_1 \cdot \theta_1 = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\sqrt{2}$.

Нижняя левая дуга. Эта дуга соединяет точки A(0, 2) и C(2, 0). По рисунку ее центр находится в точке $C_2(2, 2)$. Найдем радиус $R_2$ как расстояние от центра $C_2$ до точки A: $R_2 = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$. Центральный угол $\theta_2$ — это угол между векторами $\vec{C_2A}$ и $\vec{C_2C}$. $\vec{C_2A} = \{0-2; 2-2\} = \{-2; 0\}$ $\vec{C_2C} = \{2-2; 0-2\} = \{0; -2\}$ Их скалярное произведение также равно нулю: $\vec{C_2A} \cdot \vec{C_2C} = (-2)(0) + (0)(-2) = 0$. Следовательно, угол $\theta_2 = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. Длина нижней левой дуги $L_2$ равна: $L_2 = R_2 \cdot \theta_2 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$.

Нижняя правая дуга. Эта дуга соединяет точки B(4, 2) и C(2, 0). Вся фигура симметрична относительно вертикальной прямой $x=2$. Это означает, что нижняя правая дуга является зеркальным отражением нижней левой дуги. Поэтому ее длина $L_3$ равна длине $L_2$: $L_3 = \pi$.

Общая длина кривой. Чтобы найти общую длину кривой L, необходимо сложить длины всех трех составляющих ее дуг: $L = L_1 + L_2 + L_3 = \pi\sqrt{2} + \pi + \pi = 2\pi + \pi\sqrt{2}$. Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки для упрощения выражения: $L = \pi(2 + \sqrt{2})$.

Ответ: $\pi(2 + \sqrt{2})$