Номер 22, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Для правильного двенадцатиугольника, стороны которого равны 1, найдите радиусы описанной и вписанной окружностей (рис. 22.9).

Рис. 22.9

Радиус описанной окружности
Радиус $R$ описанной окружности для правильного n-угольника со стороной $a$ находится по формуле: $R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$.
Для правильного двенадцатиугольника $n=12$, а сторона по условию $a=1$.
Подставим эти значения: $R = \frac{1}{2 \sin(\frac{180^\circ}{12})} = \frac{1}{2 \sin(15^\circ)}$.
Чтобы найти $\sin(15^\circ)$, воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Теперь подставим найденное значение в формулу для $R$:
$R = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6} + \sqrt{2})$:
$R = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $R = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.

Радиус вписанной окружности
Радиус $r$ вписанной окружности для правильного n-угольника со стороной $a$ находится по формуле: $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$.
При $n=12$ и $a=1$ получаем: $r = \frac{1}{2 \tan(\frac{180^\circ}{12})} = \frac{1}{2 \tan(15^\circ)}$.
Чтобы найти $\tan(15^\circ)$, воспользуемся формулой тангенса разности: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$.
$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:
$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Теперь подставим найденное значение в формулу для $r$:
$r = \frac{1}{2(2 - \sqrt{3})}$.
И снова избавимся от иррациональности в знаменателе:
$r = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2(4 - 3)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $r = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$.