Номер 21, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Для шестиугольника ABCDEF, вписанного в окружность, найдите сумму углов $A$, $C$ и $E$ (рис. 22.8).

Рис. 22.8

Пусть дан шестиугольник $ABCDEF$, вписанный в окружность. Необходимо найти сумму его углов через один, то есть $ \angle A + \angle C + \angle E $. В терминах вершин, это сумма углов $ \angle FAB + \angle BCD + \angle DEF $.

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных углов. Проведем диагонали, соединяющие вершины шестиугольника через одну: $AC$, $CE$ и $EA$. Эти диагонали образуют вписанный в ту же окружность треугольник $ACE$.

Каждый из углов шестиугольника $A$, $C$ и $E$ можно представить как сумму трех углов, образованных проведенными диагоналями:

$ \angle A = \angle FAB = \angle FAE + \angle EAC + \angle CAB $

$ \angle C = \angle BCD = \angle BCA + \angle ACE + \angle ECD $

$ \angle E = \angle DEF = \angle DEC + \angle CEA + \angle AEF $

Найдем сумму этих трех углов:

$ \angle A + \angle C + \angle E = (\angle FAE + \angle EAC + \angle CAB) + (\angle BCA + \angle ACE + \angle ECD) + (\angle DEC + \angle CEA + \angle AEF) $

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить сумму углов треугольника $ \triangle ACE $:

$ \angle A + \angle C + \angle E = (\angle EAC + \angle ACE + \angle CEA) + (\angle FAE + \angle CAB + \angle BCA + \angle ECD + \angle DEC + \angle AEF) $

Первая группа слагаемых $ (\angle EAC + \angle ACE + \angle CEA) $ является суммой внутренних углов треугольника $ \triangle ACE $. Сумма углов любого треугольника равна $ 180^\circ $, следовательно:

$ \angle EAC + \angle ACE + \angle CEA = 180^\circ $

Вторая группа слагаемых $ (\angle FAE + \angle CAB + \angle BCA + \angle ECD + \angle DEC + \angle AEF) $ представляет собой сумму шести углов, вписанных в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $ \angle FAE $ опирается на дугу $FE$, $ \angle CAB $ — на дугу $CB$, $ \angle BCA $ — на дугу $AB$, $ \angle ECD $ — на дугу $ED$, $ \angle DEC $ — на дугу $DC$, и $ \angle AEF $ — на дугу $AF$.

Сумма этих углов равна половине суммы градусных мер дуг, на которые они опираются:

$ \frac{1}{2}(\text{дуга }FE + \text{дуга }CB + \text{дуга }AB + \text{дуга }ED + \text{дуга }DC + \text{дуга }AF) $

Перечисленные дуги $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ в совокупности образуют полную окружность, сумма градусных мер которой составляет $ 360^\circ $. Таким образом, сумма углов во второй группе равна:

$ \frac{1}{2} \times 360^\circ = 180^\circ $

Наконец, чтобы найти искомую сумму углов $ \angle A + \angle C + \angle E $, сложим значения, полученные для обеих групп:

$ \angle A + \angle C + \angle E = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ $

Ответ: $360^\circ$.