Номер 20, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Вообразите, что земной шар плотно обтянут по экватору веревкой. На сколько нужно увеличить длину веревки, чтобы ее можно было поднять над поверхностью Земли по всей длине на расстояние 1 м?

Для решения этой задачи нам нужно сравнить длину веревки в двух состояниях: когда она плотно облегает Землю и когда она поднята над поверхностью на 1 метр.

Пусть радиус Земли по экватору равен $R$.

1. Изначально веревка плотно облегает Землю. Ее длина, $L_1$, равна длине окружности экватора. Формула длины окружности: $C = 2 \pi r$. Таким образом, начальная длина веревки:$L_1 = 2 \pi R$

2. Теперь представим, что веревка поднята над поверхностью Земли на 1 метр по всей своей длине. Это означает, что веревка образует новую, большую окружность, радиус которой стал больше на 1 метр. Новый радиус $R_{new}$ будет равен:$R_{new} = R + 1$ м

Новая длина веревки, $L_2$, будет соответствовать длине этой новой окружности:$L_2 = 2 \pi R_{new} = 2 \pi (R + 1)$

3. Чтобы найти, на сколько нужно увеличить длину веревки, нужно найти разницу между новой длиной $L_2$ и начальной длиной $L_1$:$\Delta L = L_2 - L_1$

Подставим выражения для $L_1$ и $L_2$:$\Delta L = 2 \pi (R + 1) - 2 \pi R$

Раскроем скобки:$\Delta L = 2 \pi R + 2 \pi \cdot 1 - 2 \pi R$

Члены $2 \pi R$ и $-2 \pi R$ взаимно уничтожаются, и у нас остается:$\Delta L = 2 \pi \cdot 1$ м

Таким образом, увеличение длины веревки равно $2 \pi$ метров. Важно отметить, что этот результат не зависит от радиуса Земли.

Рассчитаем приближенное значение:$\Delta L = 2 \pi \approx 2 \cdot 3.14159 \approx 6.28$ м

Ответ: длину веревки нужно увеличить на $2\pi$ метров, что составляет примерно 6,28 метра.