Номер 13, страница 134 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Маленькой сестре Берика, Айгуль, очень нравится играть со своим деревянным набором для поезда. Берик помогает ей строить колею из дугообразных частей, как показано ниже (рис. 22.5, а). Сколько дугообразных частей, показанных выше, понадобится Берику и Айгуль для построения колеи в форме круга? Какова примерно разность между расстоянием, которое проехало внешнее колесо поезда (рис. 22.5, б) за один полный круг, и расстоянием, которое при этом проехало внутреннее колесо?

a)

$\alpha = 30^\circ$

б)

Рис. 22.5

Сколько дугообразных частей, показанных выше, понадобится Берику и Айгуль для построения колеи в форме круга?
Чтобы построить колею в форме полного круга, необходимо, чтобы сумма центральных углов всех дугообразных частей составляла $360^\circ$.
Из условия задачи известно, что центральный угол одной дугообразной части равен $\alpha = 30^\circ$.
Для того чтобы найти необходимое количество частей $N$, нужно разделить полный угол круга на угол одной части:
$N = \frac{360^\circ}{\alpha} = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$
Таким образом, для построения колеи в форме круга понадобится 12 дугообразных частей.
Ответ: 12 частей.

Какова примерно разность между расстоянием, которое проехало внешнее колесо поезда (рис. 22.5, б) за один полный круг, и расстоянием, которое при этом проехало внутреннее колесо?
Расстояние, которое проезжает колесо за один полный круг, равно длине окружности, по которой оно движется.
Из рисунка 22.5, а) мы можем определить радиусы внутреннего и внешнего путей.
Радиус внутреннего пути: $r_{вн} = 14$ см.
Ширина колеи: $w = 3$ см.
Следовательно, радиус внешнего пути равен сумме радиуса внутреннего пути и ширины колеи:
$r_{внеш} = r_{вн} + w = 14 \text{ см} + 3 \text{ см} = 17$ см.
Длина внутреннего пути (длина окружности) вычисляется по формуле: $L_{вн} = 2 \pi r_{вн}$.
Длина внешнего пути вычисляется по формуле: $L_{внеш} = 2 \pi r_{внеш}$.
Разность расстояний ($\Delta L$) равна разности длин внешней и внутренней окружностей:
$\Delta L = L_{внеш} - L_{вн} = 2 \pi r_{внеш} - 2 \pi r_{вн} = 2 \pi (r_{внеш} - r_{вн})$.
Так как разность радиусов $r_{внеш} - r_{вн}$ равна ширине колеи $w = 3$ см, то:
$\Delta L = 2 \pi w = 2 \pi \cdot 3 \text{ см} = 6 \pi$ см.
Чтобы найти примерное значение, используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$:
$\Delta L \approx 6 \cdot 3,14 = 18,84$ см.
Ответ: примерно 18,84 см.