Страница 134 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Найдите градусную величину угла, если его радианная мера равна:
а) $\frac{\pi}{2}$;
б) $\frac{\pi}{4}$;
в) $\frac{7\pi}{18}$;
г) $\frac{4\pi}{3}$.

Для перевода радианной меры угла в градусную используется формула, основанная на соотношении, что $ \pi \text{ радиан} $ соответствует $ 180^{\circ} $. Следовательно, чтобы перевести величину угла из радиан в градусы, необходимо умножить радианную меру на множитель $ \frac{180^{\circ}}{\pi} $.

а) Переведем $ \frac{\pi}{2} $ радиан в градусы:

$ \frac{\pi}{2} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ} $.

Ответ: $ 90^{\circ} $.

б) Переведем $ \frac{\pi}{4} $ радиан в градусы:

$ \frac{\pi}{4} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ} $.

Ответ: $ 45^{\circ} $.

в) Переведем $ \frac{7\pi}{18} $ радиан в градусы:

$ \frac{7\pi}{18} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{7 \cdot 180^{\circ}}{18} = 7 \cdot 10^{\circ} = 70^{\circ} $.

Ответ: $ 70^{\circ} $.

г) Переведем $ \frac{4\pi}{3} $ радиан в градусы:

$ \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{4 \cdot 180^{\circ}}{3} = 4 \cdot 60^{\circ} = 240^{\circ} $.

Ответ: $ 240^{\circ} $.

11. Гуляя в сосновом бору, вы увидели старое дерево и измерили обхват его ствола — он оказался 2,2 м. Найдите диаметр этого ствола в месте измерения.

11. Для того чтобы найти диаметр ствола дерева по его обхвату, мы будем исходить из предположения, что поперечное сечение ствола имеет форму круга. В этом случае измеренный обхват является длиной окружности этого круга.

Длина окружности ($C$) связана с её диаметром ($d$) через математическую константу $\pi$ (пи) следующей формулой:
$C = \pi \cdot d$

Чтобы найти диаметр, нам нужно выразить его из этой формулы:
$d = \frac{C}{\pi}$

По условию задачи, обхват ствола $C$ равен 2,2 м. В качестве значения $\pi$ будем использовать его приближенное значение, равное $3,14$.

Теперь подставим известные значения в формулу и произведем вычисление:
$d = \frac{2,2 \text{ м}}{\pi} \approx \frac{2,2 \text{ м}}{3,14} \approx 0,700636... \text{ м}$

Округлим полученный результат для практического применения, например, до сотых долей метра (то есть до сантиметров).
$d \approx 0,70 \text{ м}$

Таким образом, диаметр ствола составляет примерно 0,70 метра, или 70 сантиметров.

Ответ: диаметр этого ствола в месте измерения составляет примерно 0,70 м.

12. Юрта — древнейшее и в то же время современное жилище кочевников (рис. 22.4, а). Юрты бывают разные по размерам. Найдите периметр:

1) шанырака (купол юрты, рис. 22.4, б), если его диаметр равен: а) 1 м; б) 2 м;

2) кереге (круглая вертикальная стена, рис. 22.4, в), если диаметр юрты равен: а) 5 м; б) 10 м.

Рис. 22.4

Для нахождения периметра (длины окружности) шанырака и кереге, которые имеют круглую форму, мы воспользуемся формулой длины окружности: $C = \pi d$, где $C$ – длина окружности, $d$ – её диаметр, а $\pi$ (пи) – математическая константа, приблизительно равная 3,14.

1) шанырака (купол юрты, рис. 22.4, б), если его диаметр равен:

а) 1 м

Подставляем значение диаметра в формулу:

$C = \pi \times d \approx 3,14 \times 1 \text{ м} = 3,14 \text{ м}$

Ответ: периметр шанырака равен приблизительно 3,14 м.

б) 2 м

Подставляем значение диаметра в формулу:

$C = \pi \times d \approx 3,14 \times 2 \text{ м} = 6,28 \text{ м}$

Ответ: периметр шанырака равен приблизительно 6,28 м.

2) кереге (круглая вертикальная стена, рис. 22.4, в), если диаметр юрты равен:

а) 5 м

Подставляем значение диаметра в формулу:

$C = \pi \times d \approx 3,14 \times 5 \text{ м} = 15,7 \text{ м}$

Ответ: периметр кереге равен приблизительно 15,7 м.

б) 10 м

Подставляем значение диаметра в формулу:

$C = \pi \times d \approx 3,14 \times 10 \text{ м} = 31,4 \text{ м}$

Ответ: периметр кереге равен приблизительно 31,4 м.

13. Маленькой сестре Берика, Айгуль, очень нравится играть со своим деревянным набором для поезда. Берик помогает ей строить колею из дугообразных частей, как показано ниже (рис. 22.5, а). Сколько дугообразных частей, показанных выше, понадобится Берику и Айгуль для построения колеи в форме круга? Какова примерно разность между расстоянием, которое проехало внешнее колесо поезда (рис. 22.5, б) за один полный круг, и расстоянием, которое при этом проехало внутреннее колесо?

a)

$\alpha = 30^\circ$

б)

Рис. 22.5

Сколько дугообразных частей, показанных выше, понадобится Берику и Айгуль для построения колеи в форме круга?
Чтобы построить колею в форме полного круга, необходимо, чтобы сумма центральных углов всех дугообразных частей составляла $360^\circ$.
Из условия задачи известно, что центральный угол одной дугообразной части равен $\alpha = 30^\circ$.
Для того чтобы найти необходимое количество частей $N$, нужно разделить полный угол круга на угол одной части:
$N = \frac{360^\circ}{\alpha} = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$
Таким образом, для построения колеи в форме круга понадобится 12 дугообразных частей.
Ответ: 12 частей.

Какова примерно разность между расстоянием, которое проехало внешнее колесо поезда (рис. 22.5, б) за один полный круг, и расстоянием, которое при этом проехало внутреннее колесо?
Расстояние, которое проезжает колесо за один полный круг, равно длине окружности, по которой оно движется.
Из рисунка 22.5, а) мы можем определить радиусы внутреннего и внешнего путей.
Радиус внутреннего пути: $r_{вн} = 14$ см.
Ширина колеи: $w = 3$ см.
Следовательно, радиус внешнего пути равен сумме радиуса внутреннего пути и ширины колеи:
$r_{внеш} = r_{вн} + w = 14 \text{ см} + 3 \text{ см} = 17$ см.
Длина внутреннего пути (длина окружности) вычисляется по формуле: $L_{вн} = 2 \pi r_{вн}$.
Длина внешнего пути вычисляется по формуле: $L_{внеш} = 2 \pi r_{внеш}$.
Разность расстояний ($\Delta L$) равна разности длин внешней и внутренней окружностей:
$\Delta L = L_{внеш} - L_{вн} = 2 \pi r_{внеш} - 2 \pi r_{вн} = 2 \pi (r_{внеш} - r_{вн})$.
Так как разность радиусов $r_{внеш} - r_{вн}$ равна ширине колеи $w = 3$ см, то:
$\Delta L = 2 \pi w = 2 \pi \cdot 3 \text{ см} = 6 \pi$ см.
Чтобы найти примерное значение, используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$:
$\Delta L \approx 6 \cdot 3,14 = 18,84$ см.
Ответ: примерно 18,84 см.