Страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Зрачок человеческого глаза, имеющий форму круга, может изменять свой диаметр в зависимости от освещения от 1,5 мм до 7,5 мм. Во сколько раз при этом увеличивается площадь поверхности зрачка?

Для того чтобы определить, во сколько раз увеличивается площадь зрачка, необходимо найти отношение его конечной площади к начальной.

Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле через его диаметр ($d$):

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Пусть $d_1$ — начальный диаметр зрачка, а $d_2$ — конечный диаметр. Согласно условию задачи:

$d_1 = 1,5$ мм

$d_2 = 7,5$ мм

Тогда начальная площадь зрачка ($S_1$) и конечная площадь ($S_2$) равны:

$S_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi \cdot (1,5)^2}{4}$

$S_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi \cdot (7,5)^2}{4}$

Найдем отношение конечной площади к начальной:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{\pi \cdot (7,5)^2}{4}}{\frac{\pi \cdot (1,5)^2}{4}}$

Сократив общие множители $\pi$ и $4$, получим:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{(7,5)^2}{(1,5)^2} = \left(\frac{7,5}{1,5}\right)^2$

Вычислим значение в скобках:

$\frac{7,5}{1,5} = 5$

Теперь возведем результат в квадрат:

$\left(5\right)^2 = 25$

Таким образом, площадь зрачка увеличивается в 25 раз.

Ответ: 25

18. Найдите площади заштрихованных фигур на рисунке 23.9.

Рис. 23.9

а) Для нахождения площади заштрихованной фигуры, расположенной в квадрате, необходимо из площади всего квадрата вычесть площади четырех незаштрихованных угловых областей.

Фигура симметрична. Предположим, что незаштрихованные области по углам квадрата являются секторами круга. Центр каждого сектора находится в соответствующей вершине квадрата, а его дуга соединяет середины двух смежных сторон. В этом случае радиус каждого сектора равен половине стороны квадрата, то есть $r = a/2$. Поскольку угол квадрата прямой ($90^\circ$), каждый такой сектор является четвертью круга.

1. Площадь всего квадрата со стороной $a$ равна:
$S_{квадрата} = a^2$

2. Площадь одного незаштрихованного углового сектора (четверти круга) с радиусом $r = a/2$ равна:
$S_{сектора} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{16}$

3. В квадрате четыре таких одинаковых сектора, их суммарная площадь:
$S_{незаштр.} = 4 \cdot S_{сектора} = 4 \cdot \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{4}$

4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади квадрата и суммарной площади четырех секторов:
$S_{заштр.} = S_{квадрата} - S_{незаштр.} = a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = a^2 \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)$

Ответ: $S = a^2\left(1 - \frac{\pi}{4}\right)$

б) Для нахождения площади заштрихованной фигуры, расположенной в треугольнике, необходимо из площади треугольника вычесть площади трех незаштрихованных секторов в его углах.

На рисунке изображен равнобедренный треугольник с основанием $a$ и боковыми сторонами $b$. Для получения простого и законченного решения, характерного для задач такого типа, предположим, что треугольник является равносторонним. В этом случае все его стороны равны, то есть $b=a$.

1. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Незаштрихованные области являются тремя круговыми секторами. Из рисунка видно, что дуги секторов касаются друг друга на серединах сторон. Это означает, что радиус каждого сектора равен половине стороны треугольника: $r = a/2$.

3. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Площадь одного сектора с углом $60^\circ$ и радиусом $r = a/2$ равна:
$S_{сектора} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{6} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{6} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{24}$

4. Суммарная площадь трех одинаковых секторов:
$S_{незаштр.} = 3 \cdot S_{сектора} = 3 \cdot \frac{\pi a^2}{24} = \frac{\pi a^2}{8}$

5. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади треугольника и суммарной площади трех секторов:
$S_{заштр.} = S_{\triangle} - S_{незаштр.} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi a^2}{8} = a^2\left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{8}\right)$

Ответ: $S = a^2\left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{8}\right)$

19. Диаметр каждой из маленьких полуокружностей (рис. 23.10) равен радиусу большой полуокружности. Чему равна площадь закрашенной фигуры, если радиус большой полуокружности равен $R$. Такую фигуру Архимед называет арбелосом — от греческого слова $\alpha\rho\beta\upsilon\lambda o\varsigma$ — сапожный нож (рис. 23.11). В данной задаче рассматривается арбелос с равными диаметрами маленьких кругов (равнобокий арбелос).

C

Рис. 23.10

Рис. 23.11

Площадь закрашенной фигуры, называемой арбелосом, можно найти, вычтя из площади большой полуокружности площади двух маленьких полуокружностей, из которых она состоит.

1. Найдем площадь большой полуокружности.
Радиус большой полуокружности по условию равен $R$. Площадь целого круга с таким радиусом вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Следовательно, площадь большой полуокружности, $S_{большой}$, равна половине этой величины:$S_{большой} = \frac{1}{2} \pi R^2$

2. Найдем площадь маленьких полуокружностей.
По условию, диаметр каждой из маленьких полуокружностей, $d_{маленький}$, равен радиусу большой полуокружности: $d_{маленький} = R$.Радиус маленькой полуокружности, $r_{маленький}$, равен половине ее диаметра:$r_{маленький} = \frac{d_{маленький}}{2} = \frac{R}{2}$

Теперь можем найти площадь одной маленькой полуокружности, $S_{маленькой}$:$S_{маленькой} = \frac{1}{2} \pi (r_{маленький})^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{R^2}{4} = \frac{\pi R^2}{8}$

Поскольку в фигуре две одинаковые маленькие полуокружности, их общая площадь равна:$2 \cdot S_{маленькой} = 2 \cdot \frac{\pi R^2}{8} = \frac{\pi R^2}{4}$

3. Найдем площадь закрашенной фигуры.
Площадь закрашенной фигуры, $S_{фигуры}$, равна разности площади большой полуокружности и общей площади двух маленьких полуокружностей:$S_{фигуры} = S_{большой} - 2 \cdot S_{маленькой} = \frac{1}{2} \pi R^2 - \frac{\pi R^2}{4}$

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем:$S_{фигуры} = \frac{2\pi R^2}{4} - \frac{\pi R^2}{4} = \frac{2\pi R^2 - \pi R^2}{4} = \frac{\pi R^2}{4}$

Ответ: $\frac{\pi R^2}{4}$

20. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре (рис. 23.12), равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах как на диаметрах.

Рис. 23.12

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, для этого треугольника справедливо равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.

Площадь круга с диаметром $d$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$. Следовательно, площадь полукруга составляет $S_{полукруга} = \frac{1}{2} S_{круга} = \frac{\pi d^2}{8}$.

Найдем площадь полукруга, построенного на катете $a$ как на диаметре. Обозначим эту площадь $S_a$:$S_a = \frac{\pi a^2}{8}$

Аналогично, площадь полукруга, построенного на катете $b$ как на диаметре, равна:$S_b = \frac{\pi b^2}{8}$

Сумма площадей этих двух полукругов составляет:$S_a + S_b = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8}$

Теперь найдем площадь полукруга, построенного на гипотенузе $c$ как на диаметре. Обозначим эту площадь $S_c$:$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), мы можем подставить $c^2$ в выражение для суммы площадей полукругов, построенных на катетах:$S_a + S_b = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8} = \frac{\pi c^2}{8}$

Сравнивая полученный результат с площадью полукруга, построенного на гипотенузе, мы видим, что:$S_c = S_a + S_b$

Таким образом, доказано, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах как на диаметрах.

Ответ: Утверждение доказано.

21. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 23.13, если $d = 1$ см, $a = 2$ см, $b = 6$ см.

Рис. 23.13

Для нахождения площади закрашенной фигуры необходимо из площади внешней фигуры вычесть площадь двух круглых отверстий.

1. Найдем площадь внешней фигуры.

Внешняя фигура представляет собой комбинацию прямоугольника и двух полукругов по его бокам. Эти два полукруга можно объединить в один целый круг. Высота прямоугольника, согласно рисунку, равна $a$. Диаметр круга, образованного двумя полукругами, также равен $a$. Следовательно, радиус этого круга $R = a/2$. Общая длина фигуры равна $b$. Она складывается из длины прямоугольника и двух радиусов полукругов (что равно диаметру $a$). Таким образом, длина прямоугольной части равна $b - a$. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $S_{прям} = \text{длина} \cdot \text{ширина} = (b - a) \cdot a$. Площадь круга, образованного двумя полукругами: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (a/2)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$. Общая площадь внешней фигуры $S_{внешн}$ равна сумме площадей прямоугольника и круга: $S_{внешн} = S_{прям} + S_{круга} = a(b-a) + \frac{\pi a^2}{4}$. Подставим заданные значения $a = 2 \text{ см}$ и $b = 6 \text{ см}$: $S_{внешн} = 2 \cdot (6-2) + \frac{\pi \cdot 2^2}{4} = 2 \cdot 4 + \frac{4\pi}{4} = 8 + \pi \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь двух круглых отверстий.

Фигура имеет два одинаковых круглых отверстия. Диаметр каждого отверстия равен $d$. Следовательно, радиус каждого отверстия $r = d/2$. Площадь одного круглого отверстия вычисляется по формуле: $S_{отв} = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$. Поскольку отверстий два, их общая площадь $S_{отверстий}$ равна: $S_{отверстий} = 2 \cdot S_{отв} = 2 \cdot \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi d^2}{2}$. Подставим заданное значение $d = 1 \text{ см}$: $S_{отверстий} = \frac{\pi \cdot 1^2}{2} = \frac{\pi}{2} \text{ см}^2$.

3. Найдем площадь итоговой фигуры.

Для этого вычтем из площади внешней фигуры общую площадь двух отверстий: $S_{фигуры} = S_{внешн} - S_{отверстий} = (8 + \pi) - \frac{\pi}{2} = 8 + \pi - \frac{\pi}{2} = 8 + \frac{2\pi - \pi}{2} = 8 + \frac{\pi}{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $8 + \frac{\pi}{2} \text{ см}^2$.

22. На рисунке 23.14 заштрихованная фигура состоит из четырех, так называемых луночек Гиппократа. Докажите, что ее площадь равна площади квадрата $ABCD$.

Для доказательства равенства площадей введем следующие обозначения:

• $S_{луночек}$ – искомая площадь заштрихованной фигуры, состоящей из четырех луночек.
• $S_{квадрата}$ – площадь квадрата $ABCD$.
• $S_{4 \text{ полукругов}}$ – суммарная площадь четырех полукругов, построенных на сторонах квадрата как на диаметрах.
• $S_{\text{опис. круга}}$ – площадь круга, описанного вокруг квадрата $ABCD$.
• $S_{4 \text{ сегментов}}$ – суммарная площадь четырех сегментов описанного круга, находящихся между сторонами квадрата и дугами описанной окружности.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда его площадь составляет:

$S_{квадрата} = a^2$

Каждая заштрихованная луночка получается, если из площади полукруга, построенного на стороне квадрата, вычесть площадь сегмента описанного круга, который опирается на ту же сторону. Следовательно, для суммарной площади четырех луночек справедливо следующее соотношение:

$S_{луночек} = S_{4 \text{ полукругов}} - S_{4 \text{ сегментов}}$ (1)

В то же время, площадь круга, описанного вокруг квадрата, состоит из площади самого квадрата и площади тех же четырех сегментов:

$S_{\text{опис. круга}} = S_{квадрата} + S_{4 \text{ сегментов}}$

Из этого выражения можно выразить суммарную площадь четырех сегментов:

$S_{4 \text{ сегментов}} = S_{\text{опис. круга}} - S_{квадрата}$ (2)

Теперь подставим выражение (2) в уравнение (1):

$S_{луночек} = S_{4 \text{ полукругов}} - (S_{\text{опис. круга}} - S_{квадрата})$

$S_{луночек} = S_{4 \text{ полукругов}} - S_{\text{опис. круга}} + S_{квадрата}$ (3)

Чтобы завершить доказательство, вычислим площади $S_{4 \text{ полукругов}}$ и $S_{\text{опис. круга}}$.

1. Площадь четырех полукругов. Диаметр каждого полукруга равен стороне квадрата $a$, значит, радиус каждого полукруга $r = a/2$. Площадь одного полукруга равна $\frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (a/2)^2 = \frac{\pi a^2}{8}$. Суммарная площадь четырех таких полукругов:

$S_{4 \text{ полукругов}} = 4 \cdot \frac{\pi a^2}{8} = \frac{\pi a^2}{2}$

2. Площадь описанного круга. Диаметром круга, описанного вокруг квадрата, является его диагональ $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $a$ имеем: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$. Радиус описанного круга $R = d/2 = a\sqrt{2}/2$. Площадь описанного круга равна:

$S_{\text{опис. круга}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{2a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$

Сравнивая вычисленные площади, получаем, что $S_{4 \text{ полукругов}} = S_{\text{опис. круга}}$.

Подставим этот результат в уравнение (3):

$S_{луночек} = \left(\frac{\pi a^2}{2}\right) - \left(\frac{\pi a^2}{2}\right) + S_{квадрата}$

$S_{луночек} = 0 + S_{квадрата} = S_{квадрата}$

Таким образом, мы доказали, что площадь заштрихованной фигуры, состоящей из четырех луночек Гиппократа, равна площади квадрата $ABCD$.

Ответ: Площадь заштрихованной фигуры равна площади квадрата $ABCD$, что и требовалось доказать.

равна площади квадрата ABCD.

23. Найдите площадь сегмента, отсекаемого от круга радиусом 1 хордой, стягивающей дугу этого сегмента величиной:

а) $60^\circ$;

б) $90^\circ$;

в) $120^\circ$.

Площадь кругового сегмента находится как разность площади соответствующего кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами и хордой.
Общая формула для площади сегмента: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника}$.
Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$, где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — центральный угол, соответствующий дуге сегмента, в градусах.
Площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, вычисляется по формуле $S_{треугольника} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.
В данной задаче радиус $R = 1$. Подставим это значение в формулы:
$S_{сектора} = \frac{\pi \alpha}{360^\circ}$
$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \sin(\alpha)$
$S_{сегмента} = \frac{\pi \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} \sin(\alpha)$.

а) Для дуги величиной $60^\circ$:
Центральный угол $\alpha = 60^\circ$.
Площадь сектора: $S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{6}$.
Площадь треугольника: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Площадь сегмента: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

б) Для дуги величиной $90^\circ$:
Центральный угол $\alpha = 90^\circ$.
Площадь сектора: $S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{4}$.
Площадь треугольника: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Площадь сегмента: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

в) Для дуги величиной $120^\circ$:
Центральный угол $\alpha = 120^\circ$.
Площадь сектора: $S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{3}$.
Площадь треугольника: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Площадь сегмента: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.