Номер 20, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре (рис. 23.12), равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах как на диаметрах.

Рис. 23.12

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, для этого треугольника справедливо равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.

Площадь круга с диаметром $d$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$. Следовательно, площадь полукруга составляет $S_{полукруга} = \frac{1}{2} S_{круга} = \frac{\pi d^2}{8}$.

Найдем площадь полукруга, построенного на катете $a$ как на диаметре. Обозначим эту площадь $S_a$:$S_a = \frac{\pi a^2}{8}$

Аналогично, площадь полукруга, построенного на катете $b$ как на диаметре, равна:$S_b = \frac{\pi b^2}{8}$

Сумма площадей этих двух полукругов составляет:$S_a + S_b = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8}$

Теперь найдем площадь полукруга, построенного на гипотенузе $c$ как на диаметре. Обозначим эту площадь $S_c$:$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), мы можем подставить $c^2$ в выражение для суммы площадей полукругов, построенных на катетах:$S_a + S_b = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8} = \frac{\pi c^2}{8}$

Сравнивая полученный результат с площадью полукруга, построенного на гипотенузе, мы видим, что:$S_c = S_a + S_b$

Таким образом, доказано, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах как на диаметрах.

Ответ: Утверждение доказано.