Номер 13, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 23.7. Стороны клеток равны 1.

Рис. 23.7

Для нахождения площади фигуры воспользуемся методом декомпозиции. Введем систему координат так, чтобы левый нижний угол сетки, в которую вписана фигура, соответствовал началу координат (0, 0). Поскольку стороны клеток равны 1, мы можем определить координаты ключевых точек фигуры.
Фигура ограничена сверху дугой, соединяющей точки (0, 2) и (4, 2), и снизу двумя дугами, встречающимися в точке (2, 0).
Площадь фигуры можно представить как сумму площадей двух частей, разделенных горизонтальным отрезком, соединяющим точки (0, 2) и (4, 2).

1. Площадь верхней части.
Верхняя часть представляет собой сегмент круга, ограниченный дугой и хордой. Дуга соединяет точки (0, 2) и (4, 2) и имеет вершину в точке (2, 4). Длина хорды равна 4, а высота сегмента равна $4 - 2 = 2$. Это означает, что данный сегмент является полукругом с радиусом $r = 2$. Площадь этого полукруга вычисляется по формуле:
$S_{верх} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (2^2) = 2\pi$.

2. Площадь нижней части.
Нижняя часть ограничена сверху отрезком от (0, 2) до (4, 2), а снизу — двумя дугами. Площадь этой части можно найти, вычтя из площади прямоугольника с вершинами (0, 0), (4, 0), (4, 2), (0, 2) площади двух областей под дугами.
Площадь прямоугольника равна $S_{прям} = 4 \times 2 = 8$.
Левая нижняя дуга соединяет точки (0, 2) и (2, 0). Она является дугой окружности с центром в (0, 0) и радиусом $r=2$. Область под этой дугой (в первом квадранте) — это четверть круга. Ее площадь:
$S_{левая} = \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4}\pi(2^2) = \pi$.
Правая нижняя дуга соединяет точки (2, 0) и (4, 2). Она является дугой окружности с центром в (4, 0) и радиусом $r=2$. Область под этой дугой — это также четверть круга, площадь которой:
$S_{правая} = \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4}\pi(2^2) = \pi$.
Таким образом, площадь нижней части фигуры равна площади прямоугольника за вычетом площадей двух четвертей круга:
$S_{низ} = S_{прям} - S_{левая} - S_{правая} = 8 - \pi - \pi = 8 - 2\pi$.

3. Общая площадь.
Общая площадь фигуры равна сумме площадей верхней и нижней частей:
$S_{общая} = S_{верх} + S_{низ} = 2\pi + (8 - 2\pi) = 8$.

Альтернативное рассуждение: Фигуру можно получить из прямоугольника с вершинами (0, 0), (4, 0), (4, 2), (0, 2) (площадь 8), вырезав из него две четверти круга (суммарная площадь $2\pi$) и добавив сверху полукруг (площадь $2\pi$). Так как площадь добавленной части равна площади вырезанной, итоговая площадь фигуры равна площади исходного прямоугольника.

Ответ: 8.