Номер 11, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Найдите площадь круга, вписанного в:

а) равносторонний треугольник;

б) квадрат;

в) правильный шестиугольник со стороной 1.

а) Для нахождения площади вписанного круга необходимо знать его радиус $r$. Формула площади круга: $S = \pi r^2$. Поскольку в условии задачи сторона указана только для шестиугольника, будем считать, что сторона для всех фигур равна 1. Пусть сторона равностороннего треугольника $a = 1$.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, можно найти по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ или $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Подставим значение стороны $a = 1$:
$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Теперь найдем площадь круга:
$S = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3}{36} = \frac{\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{\pi}{12}$.

б) Рассмотрим квадрат со стороной $a=1$. Диаметр круга, вписанного в квадрат, равен стороне квадрата, то есть $d = a$. Радиус $r$ вписанного круга равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$.
При $a = 1$, радиус равен:
$r = \frac{1}{2}$.
Вычислим площадь вписанного круга:
$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

в) Рассмотрим правильный шестиугольник со стороной $a=1$, как указано в условии. Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности (также называемый апофемой) равен высоте равностороннего треугольника, из шести которых состоит шестиугольник. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, радиус вписанной окружности $r = h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставим значение стороны $a = 1$:
$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь вычислим площадь круга:
$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.