Номер 14, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 23.8. Стороны клеток равны 1.

Рис. 23.8

Для нахождения площади фигуры воспользуемся методом декомпозиции. Фигура обладает центральной и осевой симметрией, что позволяет упростить вычисления.

Всю фигуру $F$ можно представить как объединение двух более простых фигур с последующей коррекцией площади в "угловых" областях.

1. Определение вспомогательных фигур

Рассмотрим две вспомогательные фигуры:

• Фигура V: состоит из центрального квадрата со стороной 2 и двух полукругов радиуса 1, пристроенных к верхней и нижней сторонам квадрата.
• Фигура H: состоит из того же центрального квадрата со стороной 2 и двух полукругов радиуса 1, пристроенных к левой и правой сторонам квадрата.

Площадь центрального квадрата $S_{кв} = 2 \times 2 = 4$.

Площадь полукруга радиуса $r=1$ равна $S_{пк} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi(1)^2 = \frac{\pi}{2}$.

Тогда площади фигур V и H равны:

$S_V = S_{кв} + 2 \cdot S_{пк} = 4 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 4 + \pi$.

$S_H = S_{кв} + 2 \cdot S_{пк} = 4 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 4 + \pi$.

2. Объединение вспомогательных фигур

Рассмотрим объединение этих фигур, $H \cup V$. Эта новая фигура представляет собой крест с закругленными концами. Ее площадь можно найти по формуле включений-исключений:

$S_{H \cup V} = S_H + S_V - S_{H \cap V}$

Пересечением фигур H и V является их общая часть — центральный квадрат, поэтому $S_{H \cap V} = S_{кв} = 4$.

$S_{H \cup V} = (4 + \pi) + (4 + \pi) - 4 = 4 + 2\pi$.

3. Сравнение фигуры $F$ и $H \cup V$

Фигура $H \cup V$ очень похожа на искомую фигуру $F$, но отличается в четырех угловых областях (между "лепестками"). У фигуры $H \cup V$ углы вогнутые и состоят из двух дуг полуокружностей радиуса 1. У искомой фигуры $F$ углы также вогнутые, но описываются одной дугой, которая является четвертью окружности радиуса 2.

При внимательном рассмотрении видно, что граница фигуры $F$ в этих угловых областях проходит "дальше" от центра, чем граница $H \cup V$. Это означает, что площадь фигуры $F$ больше площади $H \cup V$ на сумму площадей четырех одинаковых "наростов" (областей между границами двух фигур).

$S_F = S_{H \cup V} + 4 \cdot S_{нарост}$

4. Вычисление площади "нароста"

Рассмотрим область в первом координатном квадранте (где $x \ge 0, y \ge 0$). Площадь нароста можно найти как разность площадей соответствующих секторов фигур $F$ и $H \cup V$.

Площадь сектора фигуры $F$ в первом квадранте ($S_{F,1}$) — это область, ограниченная осями координат и дугой окружности с центром в точке (2,2) и радиусом 2. Такая область является квадратом 2x2, из которого вырезан сектор круга. Площадь этого вырезанного сектора равна площади квадрата 2х2 минус площадь четверти круга радиуса 2: $4 - \frac{1}{4}\pi(2)^2 = 4-\pi$. Таким образом, площадь сектора фигуры $F$ равна: $S_{F,1} = S_{квадрат2x2} - (4-\pi) = 4 - (4-\pi) = \pi$.

Площадь сектора фигуры $H \cup V$ в первом квадранте ($S_{HV,1}$) — это область, ограниченная осями координат и двумя дугами окружностей радиуса 1. Эта область состоит из квадрата 1x1 и двух четвертей круга радиуса 1. Ее площадь: $S_{HV,1} = S_{квадрат1x1} + 2 \cdot S_{четв.круга} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{4}\pi(1)^2 = 1 + \frac{\pi}{2}$.

Площадь одного "нароста" — это разность этих площадей:

$S_{нарост} = S_{F,1} - S_{HV,1} = \pi - (1 + \frac{\pi}{2}) = \pi - 1 - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1$.

5. Итоговая площадь

Теперь мы можем найти площадь исходной фигуры $F$:

$S_F = S_{H \cup V} + 4 \cdot S_{нарост} = (4 + 2\pi) + 4 \cdot (\frac{\pi}{2} - 1) = 4 + 2\pi + 2\pi - 4 = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$.