Номер 19, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Диаметр каждой из маленьких полуокружностей (рис. 23.10) равен радиусу большой полуокружности. Чему равна площадь закрашенной фигуры, если радиус большой полуокружности равен $R$. Такую фигуру Архимед называет арбелосом — от греческого слова $\alpha\rho\beta\upsilon\lambda o\varsigma$ — сапожный нож (рис. 23.11). В данной задаче рассматривается арбелос с равными диаметрами маленьких кругов (равнобокий арбелос).

C

Рис. 23.10

Рис. 23.11

Площадь закрашенной фигуры, называемой арбелосом, можно найти, вычтя из площади большой полуокружности площади двух маленьких полуокружностей, из которых она состоит.

1. Найдем площадь большой полуокружности.
Радиус большой полуокружности по условию равен $R$. Площадь целого круга с таким радиусом вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Следовательно, площадь большой полуокружности, $S_{большой}$, равна половине этой величины:$S_{большой} = \frac{1}{2} \pi R^2$

2. Найдем площадь маленьких полуокружностей.
По условию, диаметр каждой из маленьких полуокружностей, $d_{маленький}$, равен радиусу большой полуокружности: $d_{маленький} = R$.Радиус маленькой полуокружности, $r_{маленький}$, равен половине ее диаметра:$r_{маленький} = \frac{d_{маленький}}{2} = \frac{R}{2}$

Теперь можем найти площадь одной маленькой полуокружности, $S_{маленькой}$:$S_{маленькой} = \frac{1}{2} \pi (r_{маленький})^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{R^2}{4} = \frac{\pi R^2}{8}$

Поскольку в фигуре две одинаковые маленькие полуокружности, их общая площадь равна:$2 \cdot S_{маленькой} = 2 \cdot \frac{\pi R^2}{8} = \frac{\pi R^2}{4}$

3. Найдем площадь закрашенной фигуры.
Площадь закрашенной фигуры, $S_{фигуры}$, равна разности площади большой полуокружности и общей площади двух маленьких полуокружностей:$S_{фигуры} = S_{большой} - 2 \cdot S_{маленькой} = \frac{1}{2} \pi R^2 - \frac{\pi R^2}{4}$

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем:$S_{фигуры} = \frac{2\pi R^2}{4} - \frac{\pi R^2}{4} = \frac{2\pi R^2 - \pi R^2}{4} = \frac{\pi R^2}{4}$

Ответ: $\frac{\pi R^2}{4}$