Номер 16, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Две трубы, диаметры которых равны 10 см и 24 см, требуется заменить одной, не изменяя их пропускной способности. Каким должен быть диаметр новой трубы?

Пропускная способность трубы пропорциональна площади ее поперечного сечения. Поперечное сечение трубы представляет собой круг. Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус. Если использовать диаметр $d$, то формула площади выглядит так: $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Согласно условию, пропускная способность новой трубы должна быть равна сумме пропускных способностей двух заменяемых труб. Это означает, что площадь поперечного сечения новой трубы ($S_{нов}$) должна быть равна сумме площадей поперечных сечений двух старых труб ($S_1$ и $S_2$).

Обозначим диаметры старых труб как $d_1 = 10$ см и $d_2 = 24$ см, а искомый диаметр новой трубы как $d_{нов}$.

Составим уравнение на основе равенства площадей:

$S_{нов} = S_1 + S_2$

Подставим в это уравнение формулу площади через диаметр:

$\frac{\pi d_{нов}^2}{4} = \frac{\pi d_1^2}{4} + \frac{\pi d_2^2}{4}$

Можно упростить это уравнение, умножив обе его части на $\frac{4}{\pi}$:

$d_{нов}^2 = d_1^2 + d_2^2$

Теперь подставим числовые значения диаметров $d_1$ и $d_2$:

$d_{нов}^2 = 10^2 + 24^2$

$d_{нов}^2 = 100 + 576$

$d_{нов}^2 = 676$

Для нахождения диаметра новой трубы $d_{нов}$ извлечем квадратный корень из 676:

$d_{нов} = \sqrt{676} = 26$ см.

Следовательно, диаметр новой трубы должен составлять 26 см, чтобы сохранить общую пропускную способность.

Ответ: 26 см.