Номер 12, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Тельник, з) квадрат, в) правильный шестиугольник со стороной 1.

12. Найдите радиус окружности, которая делит круг радиусом 1 на две равновеликие части — кольцо и круг.

Пусть $R$ — это радиус исходного большого круга, а $r$ — это радиус искомой окружности, которая делит большой круг на две части. Согласно условию задачи, $R = 1$.

Площадь всего круга вычисляется по формуле $S_{общ} = \pi R^2$. Подставив значение радиуса $R=1$, получим общую площадь:$S_{общ} = \pi \cdot 1^2 = \pi$.

По условию, искомая окружность делит большой круг на две равновеликие (то есть равные по площади) части: внутренний круг и внешнее кольцо. Это означает, что площадь внутреннего круга должна быть равна половине общей площади большого круга.

Площадь внутреннего круга с радиусом $r$ равна $S_{внутр} = \pi r^2$.

Приравняем площадь внутреннего круга к половине общей площади:$S_{внутр} = \frac{1}{2} S_{общ}$
$\pi r^2 = \frac{1}{2} \pi$

Для нахождения $r$ решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на $\pi$:$r^2 = \frac{1}{2}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как радиус является положительной величиной, мы берем только положительное значение корня:$r = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Чтобы представить ответ в стандартном виде, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$r = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$