Номер 18, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите площади заштрихованных фигур на рисунке 23.9.

Рис. 23.9

а) Для нахождения площади заштрихованной фигуры, расположенной в квадрате, необходимо из площади всего квадрата вычесть площади четырех незаштрихованных угловых областей.

Фигура симметрична. Предположим, что незаштрихованные области по углам квадрата являются секторами круга. Центр каждого сектора находится в соответствующей вершине квадрата, а его дуга соединяет середины двух смежных сторон. В этом случае радиус каждого сектора равен половине стороны квадрата, то есть $r = a/2$. Поскольку угол квадрата прямой ($90^\circ$), каждый такой сектор является четвертью круга.

1. Площадь всего квадрата со стороной $a$ равна:
$S_{квадрата} = a^2$

2. Площадь одного незаштрихованного углового сектора (четверти круга) с радиусом $r = a/2$ равна:
$S_{сектора} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{16}$

3. В квадрате четыре таких одинаковых сектора, их суммарная площадь:
$S_{незаштр.} = 4 \cdot S_{сектора} = 4 \cdot \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{4}$

4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади квадрата и суммарной площади четырех секторов:
$S_{заштр.} = S_{квадрата} - S_{незаштр.} = a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = a^2 \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)$

Ответ: $S = a^2\left(1 - \frac{\pi}{4}\right)$

б) Для нахождения площади заштрихованной фигуры, расположенной в треугольнике, необходимо из площади треугольника вычесть площади трех незаштрихованных секторов в его углах.

На рисунке изображен равнобедренный треугольник с основанием $a$ и боковыми сторонами $b$. Для получения простого и законченного решения, характерного для задач такого типа, предположим, что треугольник является равносторонним. В этом случае все его стороны равны, то есть $b=a$.

1. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Незаштрихованные области являются тремя круговыми секторами. Из рисунка видно, что дуги секторов касаются друг друга на серединах сторон. Это означает, что радиус каждого сектора равен половине стороны треугольника: $r = a/2$.

3. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Площадь одного сектора с углом $60^\circ$ и радиусом $r = a/2$ равна:
$S_{сектора} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{6} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{6} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{24}$

4. Суммарная площадь трех одинаковых секторов:
$S_{незаштр.} = 3 \cdot S_{сектора} = 3 \cdot \frac{\pi a^2}{24} = \frac{\pi a^2}{8}$

5. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади треугольника и суммарной площади трех секторов:
$S_{заштр.} = S_{\triangle} - S_{незаштр.} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi a^2}{8} = a^2\left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{8}\right)$

Ответ: $S = a^2\left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{8}\right)$