Номер 24, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Найдите площади заштрихованных фигур на рисунке 23.15.

Радиусы окружностей равны 1.

Рис. 23.15

Решение для левой фигуры

Заштрихованная фигура является пересечением двух одинаковых окружностей. Радиус каждой окружности равен $R=1$. Из рисунка видно, что центр каждой окружности лежит на другой окружности. Пусть центры окружностей — точки $O_1$ и $O_2$. Тогда расстояние между центрами $O_1O_2$ равно радиусу $R=1$.

Площадь пересечения двух окружностей можно найти как сумму площадей двух одинаковых сегментов. Найдем площадь одного такого сегмента.

Рассмотрим сегмент, отсекаемый в первой окружности (с центром $O_1$) общей хордой. Пусть $A$ и $B$ — точки пересечения окружностей. Треугольник $\triangle O_1O_2A$ является равносторонним, так как все его стороны равны радиусу $R=1$ ($O_1A = R$, $O_2A = R$, $O_1O_2 = R$). Следовательно, угол $\angle AO_1O_2 = 60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

Центральный угол сектора, опирающегося на хорду $AB$, равен $\angle AO_1B = 2 \cdot \angle AO_1O_2 = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$ или $\frac{2\pi}{3}$ радиан.

Площадь сектора $O_1AB$ вычисляется по формуле $S_{сектор} = \frac{1}{2}R^2\theta$, где $\theta$ — центральный угол в радианах.

$S_{сектор} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Площадь треугольника $\triangle O_1AB$ вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

$S_{\triangle O_1AB} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площадь одного сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника:

$S_{сегмент} = S_{сектор} - S_{\triangle} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Заштрихованная фигура состоит из двух таких одинаковых сегментов (по одному от каждой окружности). Поэтому ее площадь равна:

$S_{фигуры} = 2 \cdot S_{сегмент} = 2 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $S = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение для правой фигуры

Заштрихованная фигура состоит из четырех одинаковых "лепестков". Каждый лепесток является областью пересечения двух окружностей. Радиус всех окружностей равен $R=1$.

Можно предположить, что центры четырех окружностей расположены в вершинах квадрата, а сами окружности пересекаются в центре этого квадрата. Пусть центр симметрии фигуры находится в начале координат $(0,0)$. Тогда центры окружностей можно расположить в точках $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ и $(0,-1)$. Каждая из этих окружностей проходит через начало координат.

Найдем площадь одного лепестка, например, того, что находится в первом квадранте. Он образован пересечением окружностей с центрами в $C_1(1,0)$ и $C_2(0,1)$.

Найдем точки пересечения этих окружностей. Их уравнения: $(x-1)^2 + y^2 = 1^2$ и $x^2 + (y-1)^2 = 1^2$.Раскрывая скобки, получаем: $x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1 \implies x^2 + y^2 = 2x$.И $x^2 + y^2 - 2y + 1 = 1 \implies x^2 + y^2 = 2y$.Отсюда $2x=2y$, то есть $x=y$. Подставив $y=x$ в первое уравнение, получим $x^2+x^2=2x \implies 2x^2-2x=0 \implies 2x(x-1)=0$.Точки пересечения: $O(0,0)$ и $A(1,1)$.

Площадь лепестка, как и в предыдущей задаче, равна сумме площадей двух сегментов. Рассмотрим сегмент первой окружности (с центром $C_1(1,0)$), отсекаемый хордой $OA$.

Найдем центральный угол $\angle OC_1A$. Рассмотрим треугольник $\triangle OC_1A$ с вершинами в точках $O(0,0)$, $C_1(1,0)$ и $A(1,1)$. Его стороны: $C_1O = R = 1$, $C_1A = \sqrt{(1-1)^2+(1-0)^2} = 1 = R$. $OA = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.По теореме косинусов: $OA^2 = C_1O^2 + C_1A^2 - 2(C_1O)(C_1A)\cos(\angle OC_1A)$.$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\angle OC_1A) \implies 2 = 2 - 2\cos(\angle OC_1A) \implies \cos(\angle OC_1A) = 0$.Значит, угол $\angle OC_1A = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Площадь сектора $C_1OA$: $S_{сектор} = \frac{1}{2}R^2\theta = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Площадь треугольника $\triangle C_1OA$ (он прямоугольный): $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot C_1O \cdot C_1A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Площадь сегмента: $S_{сегмент} = S_{сектор} - S_{\triangle} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

Площадь одного лепестка состоит из двух таких симметричных сегментов, поэтому:

$S_{лепесток} = 2 \cdot S_{сегмент} = 2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2} - 1$.

Вся заштрихованная фигура состоит из четырех таких лепестков. Общая площадь:

$S_{фигуры} = 4 \cdot S_{лепесток} = 4 \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = 2\pi - 4$.

Ответ: $S = 2\pi - 4$.