Номер 27, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Дворец творчества "Шабыт" — уникальный комплекс в г. Нур-Султан, объединяющий под своей крышей творческую молодежь. План одного из этажей удивительным образом напоминает знаменитые Гиппократовы луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Докажите, что площадь закрашенной луночки равна площади прямоугольного треугольника ABC (рис. 23.18).

Рис. 23.18

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что площадь закрашенной фигуры (луночек Гиппократа) равна площади прямоугольного треугольника $ABC$, воспользуемся методом сложения и вычитания площадей.

Пусть катеты прямоугольного треугольника $ABC$ равны $a$ и $b$ (например, $BC=a$ и $AC=b$), а гипотенуза $AB=c$. По теореме Пифагора для данного треугольника справедливо равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.

Введем обозначения для площадей фигур на рисунке:

$S_{луночек}$ — искомая площадь закрашенной фигуры.

$S_{\triangle}$ — площадь прямоугольного треугольника $ABC$, которая вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab$.

$S_{AC}$ — площадь полуокружности, построенной на катете $AC$ как на диаметре. Ее радиус равен $\frac{b}{2}$, а площадь составляет $S_{AC} = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{8}$.

$S_{BC}$ — площадь полуокружности, построенной на катете $BC$ как на диаметре. Ее радиус равен $\frac{a}{2}$, а площадь составляет $S_{BC} = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8}$.

$S_{AB}$ — площадь полуокружности, построенной на гипотенузе $AB$ как на диаметре. Ее радиус равен $\frac{c}{2}$, а площадь составляет $S_{AB} = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{c}{2}\right)^2 = \frac{\pi c^2}{8}$.

Рассмотрим площадь всей фигуры, составленной из треугольника и трех полуокружностей. Эту площадь можно выразить двумя способами.

Способ 1. Площадь всей фигуры равна сумме площадей двух малых полуокружностей (на катетах) и площади треугольника. $S_{фигуры} = S_{AC} + S_{BC} + S_{\triangle}$.

Способ 2. Площадь той же фигуры можно представить как сумму площади большой полуокружности (на гипотенузе) и площади двух закрашенных луночек. $S_{фигуры} = S_{AB} + S_{луночек}$.

Поскольку оба выражения описывают площадь одной и той же фигуры, мы можем их приравнять: $S_{AC} + S_{BC} + S_{\triangle} = S_{AB} + S_{луночек}$.

Теперь воспользуемся связью между площадями полуокружностей, которая следует из теоремы Пифагора. Сложим площади малых полуокружностей: $S_{AC} + S_{BC} = \frac{\pi b^2}{8} + \frac{\pi a^2}{8} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8}$. Так как $a^2 + b^2 = c^2$, получаем: $S_{AC} + S_{BC} = \frac{\pi c^2}{8}$. Это значение в точности равно площади большой полуокружности $S_{AB}$. Таким образом, мы доказали важное свойство: $S_{AC} + S_{BC} = S_{AB}$.

Подставим это равенство в уравнение, полученное ранее: $S_{AB} + S_{\triangle} = S_{AB} + S_{луночек}$.

Вычитая из обеих частей уравнения площадь $S_{AB}$, получаем итоговый результат: $S_{\triangle} = S_{луночек}$.

Таким образом, доказано, что площадь закрашенной луночки равна площади прямоугольного треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано.