Номер 1, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. На единичной окружности с центром в начале координат изобразите точку, полученную поворотом точки $A_0 (1; 0)$ на угол:

а) $450^{\circ}$; б) $540^{\circ}$; в) $-270^{\circ}$; г) $-300^{\circ}$.

а) 450°
Поворот точки на единичной окружности на угол, больший 360°, эквивалентен повороту на угол, равный остатку от деления исходного угла на 360°.
Найдем эквивалентный угол для 450°: $450° = 360° \cdot 1 + 90°$.
Таким образом, поворот на 450° против часовой стрелки эквивалентен повороту на 90° против часовой стрелки.
Начальная точка $A_0$ имеет координаты $(1; 0)$ и лежит на положительной полуоси Ox. Поворот на 90° перемещает эту точку на положительную полуось Oy.
Координаты новой точки $A_1(x, y)$ можно найти по формулам:
$x = \cos(450°) = \cos(90°) = 0$
$y = \sin(450°) = \sin(90°) = 1$
Полученная точка $A_1$ имеет координаты $(0; 1)$.
Ответ: Точка с координатами $(0; 1)$, которая находится на пересечении единичной окружности с положительной полуосью Oy.

б) 540°
Найдем эквивалентный угол для 540°: $540° = 360° \cdot 1 + 180°$.
Поворот на 540° против часовой стрелки эквивалентен повороту на 180° против часовой стрелки.
Поворот начальной точки $A_0(1; 0)$ на 180° перемещает ее в диаметрально противоположную точку на окружности, которая лежит на отрицательной полуоси Ox.
Координаты новой точки $A_2(x, y)$:
$x = \cos(540°) = \cos(180°) = -1$
$y = \sin(540°) = \sin(180°) = 0$
Полученная точка $A_2$ имеет координаты $(-1; 0)$.
Ответ: Точка с координатами $(-1; 0)$, которая находится на пересечении единичной окружности с отрицательной полуосью Ox.

в) -270°
Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке. Чтобы найти эквивалентный положительный угол, можно прибавить 360°.
$-270° + 360° = 90°$.
Поворот на -270° по часовой стрелке эквивалентен повороту на 90° против часовой стрелки. Этот случай совпадает с пунктом а).
Координаты новой точки $A_3(x, y)$:
$x = \cos(-270°) = \cos(90°) = 0$
$y = \sin(-270°) = \sin(90°) = 1$
Полученная точка $A_3$ имеет координаты $(0; 1)$.
Ответ: Точка с координатами $(0; 1)$, которая находится на пересечении единичной окружности с положительной полуосью Oy.

г) -300°
Найдем эквивалентный положительный угол для -300°: $-300° + 360° = 60°$.
Поворот на -300° по часовой стрелке эквивалентен повороту на 60° против часовой стрелки.
Поворот начальной точки $A_0(1; 0)$ на 60° перемещает ее в первую координатную четверть.
Координаты новой точки $A_4(x, y)$:
$x = \cos(-300°) = \cos(60°) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(-300°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Полученная точка $A_4$ имеет координаты $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: Точка с координатами $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, расположенная в I координатной четверти.