Номер 26, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Административное здание Национальной компании "Қазақстан темір жолы" — одно из самых высоких в Казахстане. Оно состоит из двух смещенных относительно друг друга полукруглых башен (рис. 23.17). Высота здания — 175 м. Основание башни имеет форму кругового сегмента радиусом $R = 21,5$ м и углом $\alpha = 200^{\circ}$. Найдите площадь сегмента.

Рис. 23.17

Для решения задачи по нахождению площади кругового сегмента, необходимо использовать данные из условия: радиус $R = 21,5 \text{ м}$ и центральный угол $\alpha = 200^\circ$.

Площадь кругового сегмента ($S_{\text{сегмента}}$) вычисляется как разность площади кругового сектора ($S_{\text{сектора}}$) и площади треугольника ($S_{\text{треуг}}$), образованного двумя радиусами и хордой.

1. Сначала найдем площадь кругового сектора по формуле:$S_{\text{сектора}} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$

Подставим известные значения:$R^2 = (21,5)^2 = 462,25 \text{ м}^2$$S_{\text{сектора}} = \frac{\pi \cdot 462,25 \cdot 200}{360} = \frac{\pi \cdot 462,25 \cdot 5}{9}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$:$S_{\text{сектора}} \approx \frac{3,14159 \cdot 2311,25}{9} \approx 806,75 \text{ м}^2$

2. Далее найдем площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Угол между радиусами равен $\alpha$. Формула площади:$S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$

Подставим значения:$S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \cdot 462,25 \cdot \sin(200^\circ)$

Для вычисления $\sin(200^\circ)$ используем формулу приведения:$\sin(200^\circ) = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin(20^\circ) \approx -0,34202$

Теперь можем вычислить площадь треугольника:$S_{\text{треуг}} \approx \frac{1}{2} \cdot 462,25 \cdot (-0,34202) \approx 231,125 \cdot (-0,34202) \approx -79,05 \text{ м}^2$

3. Наконец, найдем площадь сегмента. Так как угол $\alpha > 180^\circ$, сегмент является большим, и его площадь вычисляется по формуле $S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треуг}}$.$S_{\text{сегмента}} \approx 806,75 - (-79,05) = 806,75 + 79,05 = 885,8 \text{ м}^2$

Ответ: $885,8 \text{ м}^2$.