Страница 136 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Найдите радиус земного шара, исходя из того, что 1 м составляет одну сорокамиллионную долю длины экватора.

Пусть $L$ — это длина экватора, а $R$ — это радиус земного шара. В условии задачи сказано, что 1 метр составляет одну сорокамиллионную долю длины экватора. Математически это можно записать так:$1 \text{ м} = \frac{1}{40,000,000} \times L$Из этого соотношения мы можем вычислить полную длину экватора:$L = 1 \text{ м} \times 40,000,000 = 40,000,000 \text{ м}$Земной шар мы принимаем за идеальную сферу, а экватор — за большую окружность на ее поверхности. Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2 \pi R$, где $R$ — это радиус окружности.Теперь мы можем приравнять известную нам длину экватора к формуле длины окружности, чтобы найти радиус $R$:$2 \pi R = 40,000,000 \text{ м}$Выразим радиус $R$ из этой формулы:$R = \frac{40,000,000}{2 \pi} = \frac{20,000,000}{\pi} \text{ м}$Для получения численного ответа подставим приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$:$R \approx \frac{20,000,000}{3.14159} \approx 6,366,197.7 \text{ м}$Округлим результат и для удобства представим его также в километрах, разделив на 1000:$R \approx 6,366,198 \text{ м} \approx 6366.2 \text{ км}$
Ответ: радиус земного шара составляет примерно 6,366,198 метров, или 6366.2 км.

24. Поле стадиона имеет форму прямоугольника с примыкающими к нему с двух сторон полукругами. Длина беговой дорожки вокруг поля равна 400 м. Длина каждого из двух прямолинейных участков дорожки равна 100 м. Найдите ширину поля стадиона (рис. 22.10).

Беговая дорожка стадиона состоит из двух прямолинейных участков и двух полукруглых участков, которые вместе образуют окружность.

Пусть $P$ — общая длина беговой дорожки, $L$ — длина одного прямолинейного участка, а $C$ — длина окружности, образованной двумя полукруглыми участками.

По условию задачи:

Общая длина дорожки $P = 400$ м.

Длина каждого из двух прямолинейных участков $L = 100$ м.

Общая длина дорожки равна сумме длин двух прямых участков и длины окружности: $P = 2L + C$.

Сначала найдем суммарную длину двух полукруглых участков (длину окружности $C$):

$C = P - 2L$

$C = 400 \text{ м} - 2 \times 100 \text{ м} = 400 - 200 = 200$ м.

Таким образом, длина окружности, которую образуют два полукруга, равна 200 м.

Длина окружности связана с ее диаметром $d$ формулой $C = \pi d$.

Ширина поля стадиона равна диаметру $d$ полукругов. Найдем диаметр из формулы длины окружности:

$d = \frac{C}{\pi}$

Подставим известное значение $C$:

$d = \frac{200}{\pi}$ м.

Ответ: ширина поля стадиона равна $\frac{200}{\pi}$ м.

25. Два спортсмена должны пробежать один круг по дорожке стадиона, форма которого — прямоугольник с примыкающими к нему с двух сторон полукругами (рис. 22.11). Один бежит по дорожке, расположенной на 2 м дальше от края, чем другой. Какое расстояние должно быть между ними на старте, чтобы компенсировать разность длин дорожек, по которым они бегут (примите $\pi \approx 3$)?

Рис. 22.11

Длина дорожки стадиона состоит из двух одинаковых прямых участков и двух одинаковых полукруглых участков. Разница в общей длине дистанции для двух спортсменов возникает только на полукруглых участках, так как прямые участки у них одинаковой длины.

Два полукруглых участка вместе образуют одну полную окружность. Пусть радиус окружности для внутреннего спортсмена равен $r$. Тогда длина этой окружности (сумма двух полукругов) вычисляется по формуле $C_1 = 2\pi r$.

Второй спортсмен бежит по дорожке, которая на 2 м дальше от края. Это означает, что радиус его окружности на 2 м больше, то есть $R = r + 2$. Длина его окружности будет $C_2 = 2\pi R = 2\pi(r + 2)$.

Разница в длинах окружностей и будет искомым расстоянием, которое необходимо для компенсации. Найдем эту разницу $\Delta C$:

$\Delta C = C_2 - C_1 = 2\pi(r + 2) - 2\pi r$

Раскроем скобки:

$\Delta C = 2\pi r + 4\pi - 2\pi r = 4\pi$

Таким образом, разница в длине дорожек составляет $4\pi$ метров.

По условию задачи, нужно принять значение $\pi \approx 3$. Подставим это значение:

$\Delta C = 4 \cdot 3 = 12$ м.

Следовательно, чтобы уравнять шансы, спортсмен на внешней дорожке должен стартовать на 12 метров впереди спортсмена на внутренней дорожке.

Ответ: 12 м.

26. Поезд едет со скоростью 81 км/ч. Диаметр его колеса равен 120 см. Сколько оборотов в минуту делает колесо поезда (примите $ \pi \approx 3 $)?

Для решения задачи необходимо выполнить три основных шага: привести все величины к единым единицам измерения, вычислить длину окружности колеса и, наконец, рассчитать количество оборотов в минуту.

1. Переведем скорость поезда в метры в минуту. Скорость поезда дана как 81 км/ч. Зная, что 1 км = 1000 м и 1 час = 60 минут, получаем:
$v = 81 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{81 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{81000}{60} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 1350 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.
Таким образом, за одну минуту поезд проходит 1350 метров.

2. Вычислим длину окружности колеса. Диаметр колеса $d = 120$ см. Переведем сантиметры в метры: $d = 1.2$ м. Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = \pi d$. По условию задачи следует принять $\pi \approx 3$.
$C \approx 3 \times 1.2 \text{ м} = 3.6 \text{ м}$.
Это расстояние, которое колесо проходит за один полный оборот.

3. Рассчитаем количество оборотов в минуту. Для этого разделим расстояние, которое поезд проезжает за минуту, на длину окружности одного колеса:
Количество оборотов = $\frac{\text{Расстояние за минуту}}{\text{Длина окружности}} = \frac{1350 \text{ м}}{3.6 \text{ м}} = 375$.

Ответ: 375.

27. Какова скорость поезда (в км/ч), если диаметр его колеса равен 120 см и оно делает 300 оборотов в минуту (примите $ \pi \approx 3 $)?

Для того чтобы найти скорость поезда, нам нужно сначала определить расстояние, которое он проходит за один оборот колеса. Это расстояние равно длине окружности колеса.

1. Найдем длину окружности колеса.
Формула длины окружности: $C = \pi \cdot d$, где $d$ — диаметр.
По условию, диаметр колеса $d = 120$ см, а число $\pi$ следует принять равным 3.
Подставляем значения в формулу:
$C = 3 \cdot 120 \text{ см} = 360 \text{ см}$.
Таким образом, за один полный оборот колесо проходит расстояние в 360 см.

2. Рассчитаем расстояние, которое поезд проезжает за одну минуту.
Известно, что колесо делает 300 оборотов в минуту. Чтобы найти общее расстояние за минуту, умножим длину окружности на количество оборотов:
Расстояние в минуту = $360 \text{ см/оборот} \cdot 300 \text{ оборотов/мин} = 108000 \text{ см/мин}$.

3. Переведем полученную скорость из сантиметров в минуту (см/мин) в километры в час (км/ч).
Для этого нам нужно знать, что:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \cdot 100 \text{ см} = 100000 \text{ см}$.
$1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$.
Сначала найдем, какое расстояние в сантиметрах поезд проходит за час:
$108000 \text{ см/мин} \cdot 60 \text{ мин/ч} = 6480000 \text{ см/ч}$.
Теперь переведем это расстояние в километры, разделив на 100000:
$V = \frac{6480000 \text{ см/ч}}{100000 \text{ см/км}} = 64,8 \text{ км/ч}$.

Ответ: 64,8 км/ч.

28. Под каким углом человек видит ноготь своего указательного пальца вытянутой руки, если ширина ногтя примерно равна 1 см, а расстояние от него до глаза человека примерно равно 60 см? В ответе укажите целое число градусов (примите $\pi \approx 3$).

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрическую модель. Глаз человека и края ногтя образуют равнобедренный треугольник. Вершиной этого треугольника является глаз, а основанием — ширина ногтя. Угол, под которым виден ноготь, — это угол при вершине этого треугольника ($α$). Высота этого треугольника — это расстояние от глаза до ногтя ($L$).

По условию задачи даны следующие значения:

Ширина ногтя (основание треугольника) $d = 1$ см.

Расстояние от глаза до ногтя (высота треугольника) $L = 60$ см.

Поскольку ширина ногтя значительно меньше расстояния до него ($d \ll L$), искомый угол $α$ будет очень малым. Для малых углов, выраженных в радианах, справедливо приближенное равенство, где угол равен отношению линейного размера объекта к расстоянию до него. В нашем случае ширину ногтя можно считать длиной дуги, которую стягивает угол $α$.

Вычислим величину угла в радианах:

$α_{\text{рад}} \approx \frac{d}{L} = \frac{1 \text{ см}}{60 \text{ см}} = \frac{1}{60}$ радиан.

Теперь необходимо перевести полученное значение из радиан в градусы. Формула для перевода:

$α_{\text{град}} = α_{\text{рад}} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi}$

В условии задачи сказано принять $\pi \approx 3$. Подставим это значение и найденный угол в радианах в формулу:

$α_{\text{град}} \approx \frac{1}{60} \cdot \frac{180^{\circ}}{3}$

Произведем вычисления:

$α_{\text{град}} \approx \frac{180^{\circ}}{60 \cdot 3} = \frac{180^{\circ}}{180} = 1^{\circ}$

Угол, под которым человек видит ноготь, примерно равен 1 градусу. В ответе требуется указать целое число градусов.

Ответ: 1