Страница 139 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что такое круг?

2. Что считается площадью круга?

3. Чему равна площадь круга радиусом $R$?

4. Чему равна площадь круга диаметром $d$?

5. Какая фигура называется сектором?

6. Чему равна площадь сектора?

7. Какая фигура называется сегментом?

8. Как вычисляется площадь сегмента?

1. Что такое круг?
Круг — это часть плоскости, которая находится внутри окружности, включая саму окружность. Иначе говоря, это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до одной данной точки, называемой центром круга, не превышает заданного положительного числа, называемого радиусом. Окружность является границей круга.
Ответ: Круг – это плоская геометрическая фигура, ограниченная окружностью.

2. Что считается площадью круга?
Площадью круга называется положительная величина, которая характеризует размер части плоскости, занимаемой кругом. Это количественная оценка пространства, заключенного внутри его границы (окружности). Площадь измеряется в квадратных единицах (например, $см^2$, $м^2$).
Ответ: Площадью круга считается количественная мера пространства, которое он занимает на плоскости.

3. Чему равна площадь круга радиусом R?
Площадь круга $S$ вычисляется как произведение числа $\pi$ (пи) на квадрат его радиуса $R$. Число $\pi$ — это математическая константа, представляющая собой отношение длины окружности к её диаметру, и она приблизительно равна 3,14159.
Ответ: $S = \pi R^2$

4. Чему равна площадь круга диаметром d?
Диаметр круга $d$ в два раза больше его радиуса $R$, то есть $R = \frac{d}{2}$. Чтобы найти площадь через диаметр, нужно подставить это выражение в стандартную формулу площади $S = \pi R^2$. Получаем: $S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$.
Ответ: $S = \frac{\pi d^2}{4}$

5. Какая фигура называется сектором?
Круговым сектором называется часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой окружности между ними. Центральный угол сектора — это угол, образованный этими двумя радиусами. Сектор можно представить как кусок круглого пирога.
Ответ: Сектор – это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

6. Чему равна площадь сектора?
Площадь сектора пропорциональна его центральному углу. Если центральный угол $\alpha$ измеряется в градусах, то площадь сектора составляет такую же долю от площади всего круга, какую угол $\alpha$ составляет от полного угла в $360^\circ$. Таким образом, площадь сектора вычисляется путем умножения площади всего круга на отношение угла сектора к $360^\circ$.
Ответ: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot \alpha$, где $R$ – радиус круга, а $\alpha$ – центральный угол сектора в градусах.

7. Какая фигура называется сегментом?
Круговым сегментом называется часть круга, ограниченная хордой и дугой окружности, которую эта хорда стягивает. Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. Если хорда не является диаметром, она делит круг на два сегмента: больший и меньший.
Ответ: Сегмент – это часть круга, ограниченная хордой и дугой.

8. Как вычисляется площадь сегмента?
Площадь сегмента обычно находится как разность площади кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой. Площадь сектора определяется его центральным углом $\alpha$, а площадь треугольника с двумя сторонами, равными радиусу $R$, и углом $\alpha$ между ними, равна $\frac{1}{2}R^2\sin(\alpha)$. Таким образом, площадь сегмента, который меньше половины круга, вычисляется по формуле, вычитая площадь треугольника из площади сектора.
Ответ: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot \alpha - \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha)$

1. Вычислите площадь круга, диаметр которого равен:

а) 4 см;

б) 10 м.

Для вычисления площади круга $S$ используется формула $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга. Радиус равен половине диаметра ($d$), то есть $r = d/2$.

а)

Дан диаметр $d = 4$ см.
Сначала найдем радиус круга:
$r = d / 2 = 4 / 2 = 2$ см.
Теперь вычислим площадь по формуле $S = \pi r^2$:
$S = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.
Ответ: $4\pi$ см$^2$.

б)

Дан диаметр $d = 10$ м.
Сначала найдем радиус круга:
$r = d / 2 = 10 / 2 = 5$ м.
Теперь вычислим площадь по формуле $S = \pi r^2$:
$S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ м$^2$.
Ответ: $25\pi$ м$^2$.

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна:

a) $4\pi \text{ см}^2$;

б) $16\pi \text{ м}^2$.

Для нахождения радиуса круга ($R$) по его площади ($S$) используется формула площади круга $S = \pi R^2$. Из этой формулы можно выразить радиус: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$.

а) Дана площадь круга $S = 4\pi \text{ см}^2$. Подставим это значение в формулу для радиуса: $R = \sqrt{\frac{4\pi \text{ см}^2}{\pi}} = \sqrt{4 \text{ см}^2} = 2 \text{ см}$.
Ответ: 2 см.

б) Дана площадь круга $S = 16\pi \text{ м}^2$. Подставим это значение в формулу для радиуса: $R = \sqrt{\frac{16\pi \text{ м}^2}{\pi}} = \sqrt{16 \text{ м}^2} = 4 \text{ м}$.
Ответ: 4 м.

c) 100 м.

3. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна 1 м.

3. Для решения этой задачи необходимо сначала найти радиус круга, используя известную длину окружности, а затем, зная радиус, вычислить площадь круга.

1. Нахождение радиуса.
Длина окружности $C$ связана с ее радиусом $r$ формулой: $C = 2\pi r$.
По условию задачи, длина окружности $C = 1$ м. Подставим это значение в формулу:
$1 = 2\pi r$
Теперь выразим из этого уравнения радиус $r$:
$r = \frac{1}{2\pi}$ м.

2. Вычисление площади.
Площадь круга $S$ вычисляется по формуле: $S = \pi r^2$.
Подставим найденное значение радиуса $r = \frac{1}{2\pi}$ в эту формулу:
$S = \pi \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2$
Выполним возведение в квадрат и упростим выражение:
$S = \pi \cdot \frac{1^2}{(2\pi)^2} = \pi \cdot \frac{1}{4\pi^2}$
Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе:
$S = \frac{\pi}{4\pi^2} = \frac{1}{4\pi}$ м².

Ответ: $\frac{1}{4\pi}$ м².

4. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами 6 и 8.

Для того чтобы найти площадь круга, описанного около прямоугольника, необходимо сначала найти его радиус. Диаметр круга, описанного около прямоугольника, равен диагонали этого прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a = 6$ и $b = 8$. Диагональ $d$ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора, так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат стороны прямоугольника.

Формула для нахождения диагонали: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Подставим значения сторон в формулу:

$d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Итак, диагональ прямоугольника равна 10. Так как диагональ является диаметром описанного круга, то диаметр круга $D = 10$.

Радиус круга $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Теперь мы можем найти площадь круга $S$ по формуле $S = \pi R^2$:

$S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$.

Ответ: $25\pi$.

5. Найдите площадь сектора круга радиусом 1, если соответствующий этому сектору центральный угол равен:

а) $60^\circ$;

б) $40^\circ$;

в) $120^\circ$.

Для нахождения площади сектора круга используется формула: $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$, где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — центральный угол сектора в градусах.

В данной задаче радиус $R = 1$. Подставим это значение в формулу, чтобы упростить её для наших вычислений: $S = \frac{\pi \cdot 1^2 \cdot \alpha}{360} = \frac{\pi \alpha}{360}$.

Теперь рассчитаем площадь для каждого заданного угла.

а) Центральный угол $\alpha = 60^\circ$.

Подставляем значение угла в формулу:

$S = \frac{\pi \cdot 60}{360} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

б) Центральный угол $\alpha = 40^\circ$.

Подставляем значение угла в формулу:

$S = \frac{\pi \cdot 40}{360} = \frac{4\pi}{36} = \frac{\pi}{9}$.

Ответ: $\frac{\pi}{9}$.

в) Центральный угол $\alpha = 120^\circ$.

Подставляем значение угла в формулу:

$S = \frac{\pi \cdot 120}{360} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

6. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его радиус увеличить в: а) 2; б) 3; в) 4 раза?

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – это радиус круга. Из формулы видно, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса.

Пусть первоначальный радиус круга равен $r_1$, а его площадь $S_1 = \pi r_1^2$.

Если радиус увеличить в $k$ раз, то новый радиус $r_2$ будет равен $k \cdot r_1$. Тогда новая площадь $S_2$ будет вычисляться как $S_2 = \pi r_2^2 = \pi (k \cdot r_1)^2 = \pi k^2 r_1^2$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась площадь, нужно найти отношение новой площади к старой: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi k^2 r_1^2}{\pi r_1^2} = k^2$.

Таким образом, если радиус круга увеличить в $k$ раз, его площадь увеличится в $k^2$ раз.

а) Если радиус увеличить в 2 раза, то $k=2$. Площадь увеличится в $k^2 = 2^2 = 4$ раза.
Ответ: в 4 раза.

б) Если радиус увеличить в 3 раза, то $k=3$. Площадь увеличится в $k^2 = 3^2 = 9$ раз.
Ответ: в 9 раз.

в) Если радиус увеличить в 4 раза, то $k=4$. Площадь увеличится в $k^2 = 4^2 = 16$ раз.
Ответ: в 16 раз.