Страница 146 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Из определения синуса и косинуса следует, что выполняются

следующие тождества:

(1) $sin(\Phi + 360^\circ) = sin\Phi, cos(\Phi + 360^\circ) = cos\Phi;$

(2) $sin(\Phi + 180^\circ) = -sin\Phi, cos(\Phi + 180^\circ) = -cos\Phi;$

(3) $sin(-\Phi) = -sin\Phi, cos(-\Phi) = cos\Phi;$

(4) $sin(90^\circ - \Phi) = cos\Phi, cos(90^\circ - \Phi) = sin\Phi.$

Проверьте это самостоятельно.

Для проверки данных тождеств воспользуемся определением синуса и косинуса через единичную окружность. Пусть на единичной окружности (окружности с радиусом $R=1$ и центром в начале координат) взята точка $P(x, y)$, соответствующая углу поворота $\phi$. По определению, ее координаты равны косинусу и синусу этого угла: $x = \cos\phi$, $y = \sin\phi$.

(1) $\sin(\phi + 360^\circ) = \sin\phi, \cos(\phi + 360^\circ) = \cos\phi$

Угол $\phi + 360^\circ$ соответствует полному обороту из положения, заданного углом $\phi$. При повороте на $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан) любая точка на окружности возвращается в свое исходное положение. Следовательно, точка, соответствующая углу $\phi + 360^\circ$, совпадает с точкой $P(x, y)$, соответствующей углу $\phi$.
Поскольку точки совпадают, их координаты также совпадают.
Координаты точки для угла $\phi + 360^\circ$ равны $(\cos(\phi + 360^\circ), \sin(\phi + 360^\circ))$.
Координаты точки для угла $\phi$ равны $(\cos\phi, \sin\phi)$.
Приравнивая координаты, получаем:
$\cos(\phi + 360^\circ) = \cos\phi$
$\sin(\phi + 360^\circ) = \sin\phi$
Это доказывает, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом $360^\circ$.
Ответ: Тождества верны.

(2) $\sin(\phi + 180^\circ) = -\sin\phi, \cos(\phi + 180^\circ) = -\cos\phi$

Пусть точка $P(x, y) = (\cos\phi, \sin\phi)$ соответствует углу $\phi$. Поворот на $180^\circ$ (или $\pi$ радиан) переводит точку $P(x, y)$ в точку $P'(x', y')$, диаметрально противоположную ей относительно центра окружности (начала координат).
Координаты диаметрально противоположной точки $P'$ равны $x' = -x$ и $y' = -y$.
С другой стороны, координаты точки $P'$, соответствующей углу $\phi + 180^\circ$, по определению равны $(\cos(\phi + 180^\circ), \sin(\phi + 180^\circ))$.
Следовательно, $x' = \cos(\phi + 180^\circ)$ и $y' = \sin(\phi + 180^\circ)$.
Приравнивая выражения для координат, получаем:
$\cos(\phi + 180^\circ) = -x = -\cos\phi$
$\sin(\phi + 180^\circ) = -y = -\sin\phi$
Ответ: Тождества верны.

(3) $\sin(-\phi) = -\sin\phi, \cos(-\phi) = \cos\phi$

Пусть точка $P(x, y) = (\cos\phi, \sin\phi)$ соответствует углу $\phi$ (положительное направление отсчета — против часовой стрелки). Угол $-\phi$ отсчитывается в противоположном, то есть по часовой стрелке, направлении на ту же величину.
Точка $P'(x', y')$, соответствующая углу $-\phi$, будет симметрична точке $P(x, y)$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$).
При симметрии относительно оси $Ox$ абсцисса точки не меняется, а ордината меняет свой знак на противоположный. Таким образом, $x' = x$ и $y' = -y$.
По определению, $x' = \cos(-\phi)$ и $y' = \sin(-\phi)$.
Приравнивая выражения, получаем:
$\cos(-\phi) = x = \cos\phi$
$\sin(-\phi) = -y = -\sin\phi$
Это доказывает, что косинус — четная функция, а синус — нечетная.
Ответ: Тождества верны.

(4) $\sin(90^\circ - \phi) = \cos\phi, \cos(90^\circ - \phi) = \sin\phi$

Рассмотрим точку $P(x, y) = (\cos\phi, \sin\phi)$, соответствующую углу $\phi$. Рассмотрим также точку $P'(x', y')$, соответствующую углу $90^\circ - \phi$.
Геометрически точка $P'$ может быть получена отражением точки $P$ относительно прямой $y=x$. При таком отражении координаты точки меняются местами: $x' = y$ и $y' = x$.
Действительно, пусть угол, который образует радиус-вектор точки $P$ с осью $Ox$, равен $\phi$. Тогда угол, который он образует с осью $Oy$, равен $90^\circ - \phi$. При отражении относительно прямой $y=x$ оси $Ox$ и $Oy$ меняются местами, поэтому угол отраженной точки $P'$ с осью $Ox$ будет равен $90^\circ - \phi$.
Итак, координаты точки $P'$, соответствующей углу $90^\circ - \phi$, равны $(y, x)$.
По определению, эти координаты также равны $(\cos(90^\circ - \phi), \sin(90^\circ - \phi))$.
Приравнивая выражения для координат точки $P'$, получаем:
$\cos(90^\circ - \phi) = y = \sin\phi$
$\sin(90^\circ - \phi) = x = \cos\phi$
Эти тождества также известны как формулы приведения.
Ответ: Тождества верны.