Страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

29. Повторите понятие тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника.

Тригонометрические функции острого угла определяются через соотношения сторон прямоугольного треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из углов прямой (равен $90^\circ$). Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Пусть $\alpha$ — один из острых углов этого треугольника. Катет, лежащий напротив угла $\alpha$, называется противолежащим катетом (для угла $\alpha$ это будет сторона $a$). Катет, являющийся одной из сторон угла $\alpha$, называется прилежащим катетом (для угла $\alpha$ это будет сторона $b$).

Синус (sin)
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
$ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} $

Косинус (cos)
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.
$ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} $

Тангенс (tg или tan)
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.
$ \text{tg}(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} $

Котангенс (ctg или cot)
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета.
$ \text{ctg}(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a} $

Из этих определений следуют важные соотношения, называемые основными тригонометрическими тождествами:
1. Основное тригонометрическое тождество, которое следует из теоремы Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$):
$ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1 $
2. Связь между тангенсом, синусом и косинусом:
$ \text{tg}(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $
3. Связь между котангенсом, синусом и косинусом:
$ \text{ctg}(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{b/c}{a/c} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $
4. Связь между тангенсом и котангенсом:
$ \text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1 $

Ответ:
Тригонометрические функции острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике — это безразмерные величины, определяемые как отношения длин его сторон:

• Синус: отношение противолежащего катета к гипотенузе ($ \sin(\alpha) = a/c $).
• Косинус: отношение прилежащего катета к гипотенузе ($ \cos(\alpha) = b/c $).
• Тангенс: отношение противолежащего катета к прилежащему ($ \text{tg}(\alpha) = a/b $).
• Котангенс: отношение прилежащего катета к противолежащему ($ \text{ctg}(\alpha) = b/a $).

30. Попробуйте определить тригонометрические функции для прямого и тупого углов.

Определения тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс) через соотношения сторон в прямоугольном треугольнике применимы только для острых углов (от $0^\circ$ до $90^\circ$). Чтобы определить эти функции для любых углов, включая прямые и тупые, используют единичную окружность в декартовой системе координат.

Рассмотрим окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат $(0, 0)$. Любой угол $\alpha$ откладывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Конечная сторона угла пересекает единичную окружность в точке $P$ с координатами $(x, y)$.

По определению:
Синус угла $\alpha$: $\sin(\alpha) = y$
Косинус угла $\alpha$: $\cos(\alpha) = x$
Тангенс угла $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (при $x \neq 0$)
Котангенс угла $\alpha$: $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (при $y \neq 0$)

Используя этот подход, мы можем определить тригонометрические функции для прямого и тупого углов.

Тригонометрические функции для прямого угла
Прямой угол равен $\alpha = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Конечная сторона этого угла совпадает с положительным направлением оси Oy. Точка пересечения этой стороны с единичной окружностью имеет координаты $P(0, 1)$.
Таким образом, для $\alpha = 90^\circ$ мы имеем $x=0$ и $y=1$.
Подставим эти значения в определения:
$\sin(90^\circ) = y = 1$
$\cos(90^\circ) = x = 0$
$\tan(90^\circ) = \frac{y}{x} = \frac{1}{0}$. Деление на ноль невозможно, следовательно, тангенс для угла $90^\circ$ не определен.
$\cot(90^\circ) = \frac{x}{y} = \frac{0}{1} = 0$
Ответ: Для прямого угла $\alpha = 90^\circ$: $\sin(90^\circ) = 1$, $\cos(90^\circ) = 0$, $\cot(90^\circ) = 0$, а $\tan(90^\circ)$ не существует.

Тригонометрические функции для тупого угла
Тупой угол $\alpha$ — это угол в диапазоне $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$). Конечная сторона такого угла находится во второй координатной четверти. Для любой точки $P(x, y)$ в этой четверти на единичной окружности абсцисса $x$ будет отрицательной ($x<0$), а ордината $y$ — положительной ($y>0$).
Следовательно, для тупого угла $\alpha$:
$\sin(\alpha) = y > 0$ (синус положителен)
$\cos(\alpha) = x < 0$ (косинус отрицателен)
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} < 0$ (тангенс отрицателен)
$\cot(\alpha) = \frac{x}{y} < 0$ (котангенс отрицателен)
Для вычисления значений тригонометрических функций тупого угла $\alpha$ используют формулы приведения, которые связывают их со значениями для смежного острого угла $(180^\circ - \alpha)$:
$\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$
$\cos(\alpha) = -\cos(180^\circ - \alpha)$
$\tan(\alpha) = -\tan(180^\circ - \alpha)$
$\cot(\alpha) = -\cot(180^\circ - \alpha)$
Например, для угла $\alpha = 135^\circ$:
$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(135^\circ) = -\cos(180^\circ - 135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan(135^\circ) = -\tan(180^\circ - 135^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$
$\cot(135^\circ) = -\cot(180^\circ - 135^\circ) = -\cot(45^\circ) = -1$
Ответ: Для тупого угла $\alpha$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны. Их значения могут быть найдены через соответствующий острый угол $(180^\circ - \alpha)$ с помощью формул приведения: $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$, $\cos(\alpha) = -\cos(180^\circ - \alpha)$, $\tan(\alpha) = -\tan(180^\circ - \alpha)$, $\cot(\alpha) = -\cot(180^\circ - \alpha)$.