Страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой многоугольник называется правильным?

2. Около всякого ли правильного многоугольника можно описать окружность?

3. Как выражается радиус окружности, описанной около правильного $n$-угольника со стороной $a$?

4. Можно ли вписать окружность в правильный многоугольник?

5. Как выражается радиус окружности, вписанной в правильный $n$-угольник со стороной $a$?

6. Как выражается радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, через его полупериметр и площадь?

7. Что считается длиной окружности?

8. Как относятся периметры двух правильных $n$-угольников?

9. Как относятся длины двух окружностей?

10. Что обозначает греческая буква $\pi$?

11. Чему равна длина окружности радиусом $R$?

12. Какие неравенства выполняются для числа $\pi$?

13. Каково приближенное значение числа $\pi$?

14. Чему равна длина дуги окружности в $1^\circ$?

15. Чему равна длина дуги окружности в $\phi$ градусов?

16. Чему равна градусная мера угла в 1 радиан?

1. Какой многоугольник называется правильным?
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы также равны между собой.
Ответ: выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

2. Около всякого ли правильного многоугольника можно описать окружность?
Да, около любого правильного многоугольника можно описать окружность, притом только одну. Центр этой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Ответ: да.

3. Как выражается радиус окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной a?
Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — длина стороны, а $n$ — число сторон правильного многоугольника. Радиус можно найти из равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $R$ и основанием $a$. Угол при вершине этого треугольника равен $\frac{360^\circ}{n}$. Половина этого угла равна $\frac{180^\circ}{n}$. Рассматривая прямоугольный треугольник, получаем соотношение $\sin(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{a/2}{R}$. Отсюда:
$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$.
Ответ: $R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$.

4. Можно ли вписать окружность в правильный многоугольник?
Да, в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр совпадает с центром описанной окружности, а сама окружность касается всех сторон многоугольника.
Ответ: да.

5. Как выражается радиус окружности, вписанной в правильный n-угольник со стороной a?
Пусть $r$ — радиус вписанной окружности (апофема), $a$ — длина стороны, а $n$ — число сторон. Из того же прямоугольного треугольника, что и в пункте 3, имеем соотношение $\tan(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{a/2}{r}$. Отсюда:
$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$.
Ответ: $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$.

6. Как выражается радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, через его полупериметр и площадь?
Площадь $S$ любого многоугольника, в который можно вписать окружность, связана с его полупериметром $p$ и радиусом вписанной окружности $r$ формулой $S = p \cdot r$. Из этой формулы можно выразить радиус:
$r = \frac{S}{p}$.
Ответ: $r = \frac{S}{p}$.

7. Что считается длиной окружности?
Длиной окружности называется предел, к которому стремится периметр правильного многоугольника, вписанного в эту окружность, при неограниченном увеличении числа его сторон.
Ответ: предел периметров вписанных в окружность правильных многоугольников при бесконечном увеличении числа их сторон.

8. Как относятся периметры двух правильных n-угольников?
Два правильных $n$-угольника подобны. Отношение их периметров ($P_1$ и $P_2$) равно коэффициенту подобия, то есть отношению их соответствующих линейных размеров, например, радиусов описанных окружностей ($R_1$ и $R_2$) или сторон ($a_1$ и $a_2$).
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{a_1}{a_2}$.
Ответ: как их соответствующие линейные размеры (например, радиусы описанных окружностей).

9. Как относятся длины двух окружностей?
Отношение длин двух окружностей ($C_1$ и $C_2$) равно отношению их радиусов ($R_1$ и $R_2$) или отношению их диаметров ($D_1$ и $D_2$).
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{D_1}{D_2}$.
Ответ: отношение длин окружностей равно отношению их радиусов.

10. Что обозначает греческая буква п?
Греческая буква $\pi$ (пи) обозначает математическую константу, равную отношению длины окружности к её диаметру. Это значение является постоянным для любой окружности.
Ответ: отношение длины окружности к её диаметру.

11. Чему равна длина окружности радиусом R?
Длина окружности $C$ (или периметр круга) с радиусом $R$ вычисляется по формуле:
$C = 2\pi R$.
Ответ: $C = 2\pi R$.

12. Какие неравенства выполняются для числа п?
Существует множество неравенств для числа $\pi$. Одно из классических, полученное Архимедом: $3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}$. Для практических целей часто используют более простое неравенство:
$3.141 < \pi < 3.142$.
Ответ: например, $3.14 < \pi < 3.15$.

13. Каково приближенное значение числа п?
В несложных расчетах обычно используют значение $\pi \approx 3.14$. Более точное значение, часто используемое в инженерии и науке: $\pi \approx 3.14159$. Также распространено приближение в виде обыкновенной дроби $\pi \approx \frac{22}{7}$.
Ответ: $\pi \approx 3.14$ или $\pi \approx \frac{22}{7}$.

14. Чему равна длина дуги окружности в 1°?
Длина всей окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$ и соответствует полному углу в $360^\circ$. Следовательно, длина дуги, стягивающей угол в $1^\circ$, в 360 раз меньше.
$l_{1^\circ} = \frac{2\pi R}{360} = \frac{\pi R}{180}$.
Ответ: $\frac{\pi R}{180}$.

15. Чему равна длина дуги окружности в φ градусов?
Длина дуги, соответствующая центральному углу в $\phi$ градусов, в $\phi$ раз больше длины дуги в $1^\circ$.
$l_{\phi^\circ} = \frac{\pi R}{180} \cdot \phi$.
Ответ: $\frac{\pi R \phi}{180}$.

16. Чему равна градусная мера угла в 1 радиан?
Полный оборот составляет $360^\circ$, что соответствует $2\pi$ радиан. Таким образом, $2\pi \text{ рад} = 360^\circ$. Чтобы найти градусную меру одного радиана, нужно разделить $360^\circ$ на $2\pi$.
$1 \text{ рад} = \frac{360^\circ}{2\pi} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.2958^\circ$.
Ответ: $\frac{180^\circ}{\pi}$.

1. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом 1?

1. Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a$, а радиус описанной окружности равен $R$. По условию, $R=1$.
Правильный шестиугольник можно разделить на 6 одинаковых равносторонних треугольников, вершины которых сходятся в центре описанной окружности.
Рассмотрим один из таких треугольников, например, $\triangle OAB$, где $O$ — центр окружности, а $A$ и $B$ — две соседние вершины шестиугольника.
Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R = 1$.
Сторона $AB$ является стороной шестиугольника, то есть $AB = a$.
Угол при вершине $O$ в этом треугольнике является центральным углом шестиугольника и равен $\angle AOB = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.
Так как $\triangle OAB$ является равнобедренным ($OA = OB$), то углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$.
Поскольку все три угла треугольника $\triangle OAB$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.
Следовательно, все его стороны равны: $AB = OA = OB$.
Отсюда получаем, что сторона шестиугольника $a$ равна радиусу описанной окружности $R$:
$a = R$
Так как $R=1$, то и $a=1$.
Ответ: 1.

2. Сторона правильного шестиугольника равна 3. Найдите радиус описанной около него окружности.

Для нахождения радиуса описанной окружности правильного шестиугольника воспользуемся его геометрическими свойствами. Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников, вершины которых сходятся в центре шестиугольника (который также является центром описанной окружности).

Пусть $a$ — это сторона правильного шестиугольника, а $R$ — радиус описанной окружности.

Рассмотрим один из шести треугольников, образованных двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам шестиугольника, и стороной шестиугольника между этими вершинами. Две стороны этого треугольника равны радиусу $R$, а третья сторона равна стороне шестиугольника $a$.

Угол между двумя радиусами (угол при центре окружности) равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Так как этот треугольник является равнобедренным (две стороны равны $R$) и угол между этими сторонами равен $60^\circ$, то два других угла при основании также равны и вычисляются как $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Таким образом, радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

$R = a$

Согласно условию задачи, сторона шестиугольника $a = 3$. Следовательно, радиус описанной окружности $R$ также равен 3.

Ответ: 3

описанной около него окружности.

3. За длину окружности вавилоняне принимали периметр правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность. Найдите приближение для числа $ \pi $, которым пользовались вавилоняне.

Для решения задачи воспользуемся предоставленной информацией. Пусть имеется окружность радиуса $R$. Длина этой окружности $C$ вычисляется по известной формуле:

$C = 2 \pi R$

Согласно условию, вавилоняне за длину окружности принимали периметр $P_6$ правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность. Это можно записать как приближенное равенство:

$C \approx P_6$

Найдем периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$. Особенностью правильного шестиугольника является то, что его сторона ($a_6$) равна радиусу описанной около него окружности. Это легко увидеть, если соединить вершины шестиугольника с центром окружности. Мы получим 6 равносторонних треугольников со стороной, равной $R$.

Таким образом, $a_6 = R$.

Периметр шестиугольника — это сумма длин всех его шести сторон:

$P_6 = 6 \cdot a_6 = 6R$

Теперь мы можем подставить выражения для $C$ и $P_6$ в наше приближенное равенство:

$2 \pi R \approx 6R$

Чтобы найти приближение для числа $\pi$, которым пользовались вавилоняне, разделим обе части этого равенства на $2R$ (так как радиус окружности не может быть равен нулю, $R \ne 0$):

$\pi \approx \frac{6R}{2R}$

$\pi \approx 3$

Ответ: 3

4. Как изменится длина окружности, если радиус окружности:

а) увеличить в три раза;

б) уменьшить в два раза?

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$, где $r$ — это радиус окружности. Из этой формулы видно, что длина окружности находится в прямой пропорциональной зависимости от ее радиуса. Это означает, что во сколько раз изменяется радиус, во столько же раз изменится и длина окружности.

а) увеличить в три раза
Пусть исходный радиус равен $r_1$, тогда исходная длина окружности равна $C_1 = 2 \pi r_1$.
Если радиус увеличить в три раза, то новый радиус $r_2$ станет равен $3r_1$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна:$C_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi (3r_1) = 3 \cdot (2 \pi r_1) = 3C_1$.
Таким образом, новая длина окружности в три раза больше исходной.
Ответ: длина окружности увеличится в три раза.

б) уменьшить в два раза
Пусть исходный радиус равен $r_1$, тогда исходная длина окружности равна $C_1 = 2 \pi r_1$.
Если радиус уменьшить в два раза, то новый радиус $r_2$ станет равен $r_1 / 2$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна:$C_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi (r_1 / 2) = (2 \pi r_1) / 2 = C_1 / 2$.
Таким образом, новая длина окружности в два раза меньше исходной.
Ответ: длина окружности уменьшится в два раза.

5. На сколько увеличится длина окружности, если ее радиус увеличить на:

а) 1 см;

б) 2 см;

в) 5 см?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой длины окружности: $C = 2\pi R$, где $C$ — длина окружности, а $R$ — ее радиус.
Пусть первоначальный радиус окружности равен $R_1$. Тогда ее первоначальная длина $C_1 = 2\pi R_1$.
Пусть радиус увеличили на величину $\Delta R$. Новый радиус стал равен $R_2 = R_1 + \Delta R$.
Новая длина окружности будет равна $C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi(R_1 + \Delta R)$.
Чтобы найти, на сколько увеличилась длина окружности, нужно найти разность между новой и старой длинами:
$\Delta C = C_2 - C_1 = 2\pi(R_1 + \Delta R) - 2\pi R_1 = 2\pi R_1 + 2\pi \Delta R - 2\pi R_1 = 2\pi \Delta R$.
Таким образом, изменение длины окружности равно $2\pi$, умноженному на изменение радиуса. Теперь мы можем рассчитать увеличение для каждого случая.

а) Радиус увеличивается на 1 см, то есть $\Delta R = 1$ см.
Увеличение длины окружности составит: $\Delta C = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$ см.
Ответ: на $2\pi$ см.

б) Радиус увеличивается на 2 см, то есть $\Delta R = 2$ см.
Увеличение длины окружности составит: $\Delta C = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$ см.
Ответ: на $4\pi$ см.

в) Радиус увеличивается на 5 см, то есть $\Delta R = 5$ см.
Увеличение длины окружности составит: $\Delta C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.
Ответ: на $10\pi$ см.

6. Какой будет длина окружности, в которой дуга в $1^\circ$ имеет длину $1\text{ м}$?

Для нахождения длины окружности воспользуемся тем фактом, что длина дуги окружности прямо пропорциональна ее градусной мере. Вся окружность имеет градусную меру $360^{\circ}$.

По условию задачи, дуга, градусная мера которой составляет $1^{\circ}$, имеет длину 1 м.

Это означает, что на каждый градус центрального угла приходится 1 метр длины дуги. Поскольку полная окружность содержит 360 градусов, ее общая длина будет в 360 раз больше длины дуги в $1^{\circ}$.

Можно составить пропорцию, где $C$ — искомая длина окружности:
$\frac{C}{360^{\circ}} = \frac{1 \text{ м}}{1^{\circ}}$

Из этой пропорции находим $C$:
$C = \frac{1 \text{ м} \times 360^{\circ}}{1^{\circ}} = 360 \text{ м}$

Ответ: 360 м.

7. Длина окружности равна 60 см. Найдите длину дуги этой окружности, содержащую $18^\circ$.

Для нахождения длины дуги окружности можно воспользоваться пропорцией, так как длина дуги прямо пропорциональна ее угловой мере. Вся окружность имеет угловую меру $360^{\circ}$, а ее длина по условию составляет 60 см. Нам нужно найти длину дуги, которая соответствует углу в $18^{\circ}$.
Пусть $L$ - искомая длина дуги, а $C$ - длина всей окружности. Тогда можно составить следующее соотношение:
$\frac{L}{C} = \frac{18^{\circ}}{360^{\circ}}$
Выразим из этой формулы длину дуги $L$:
$L = C \cdot \frac{18}{360}$
Подставим известное значение длины окружности $C = 60$ см:
$L = 60 \cdot \frac{18}{360}$
Сократим дробь $\frac{18}{360}$. Можно заметить, что $360 = 18 \cdot 20$, поэтому:
$\frac{18}{360} = \frac{1}{20}$
Теперь вычислим значение $L$:
$L = 60 \cdot \frac{1}{20} = \frac{60}{20} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

8. Найдите длину дуги окружности радиусом 1, соответствующей центральному углу в:

а) $30^\circ$;

б) $90^\circ$;

в) $120^\circ$;

г) $270^\circ$.

Для нахождения длины дуги окружности $L$ используется формула, которая связывает длину дуги с радиусом окружности и центральным углом. Если центральный угол $\alpha$ выражен в градусах, формула имеет вид:

$L = \frac{2 \pi R \cdot \alpha}{360°}$

где $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — центральный угол.

По условию задачи радиус окружности $R = 1$. Подставим это значение в формулу, чтобы упростить ее для наших вычислений:

$L = \frac{2 \pi \cdot 1 \cdot \alpha}{360°} = \frac{\pi \cdot \alpha}{180°}$

Теперь вычислим длину дуги для каждого из заданных углов.

а) Для центрального угла $\alpha = 30°$:

$L = \frac{\pi \cdot 30°}{180°} = \frac{30}{180}\pi = \frac{1}{6}\pi = \frac{\pi}{6}$

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

б) Для центрального угла $\alpha = 90°$:

$L = \frac{\pi \cdot 90°}{180°} = \frac{90}{180}\pi = \frac{1}{2}\pi = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

в) Для центрального угла $\alpha = 120°$:

$L = \frac{\pi \cdot 120°}{180°} = \frac{120}{180}\pi = \frac{12}{18}\pi = \frac{2}{3}\pi = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

г) Для центрального угла $\alpha = 270°$:

$L = \frac{\pi \cdot 270°}{180°} = \frac{270}{180}\pi = \frac{27}{18}\pi = \frac{3}{2}\pi = \frac{3\pi}{2}$

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

9. Найдите радианную величину углов в:

а) $45^\circ$

б) $60^\circ$

в) $150^\circ$

Чтобы перевести величину угла из градусов в радианы, используется формула, основанная на соотношении, что $180°$ равны $\pi$ радиан. Для перевода угла $\alpha$, заданного в градусах, в радианы, его величину необходимо умножить на множитель $\frac{\pi}{180°}$.

$\alpha_{рад} = \alpha_{град} \times \frac{\pi}{180°}$

а) Найдем радианную величину угла $45°$.
Применяем формулу перевода:
$45° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{45\pi}{180}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 45 и 180 равен 45.
$\frac{45\pi \div 45}{180 \div 45} = \frac{\pi}{4}$
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) Найдем радианную величину угла $60°$.
Применяем формулу перевода:
$60° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{60\pi}{180}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 60:
$\frac{60\pi \div 60}{180 \div 60} = \frac{\pi}{3}$
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

в) Найдем радианную величину угла $150°$.
Применяем формулу перевода:
$150° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{150\pi}{180}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 150 и 180 равен 30.
$\frac{150\pi \div 30}{180 \div 30} = \frac{5\pi}{6}$
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.