Вопросы, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой многоугольник называется правильным?

2. Около всякого ли правильного многоугольника можно описать окружность?

3. Как выражается радиус окружности, описанной около правильного $n$-угольника со стороной $a$?

4. Можно ли вписать окружность в правильный многоугольник?

5. Как выражается радиус окружности, вписанной в правильный $n$-угольник со стороной $a$?

6. Как выражается радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, через его полупериметр и площадь?

7. Что считается длиной окружности?

8. Как относятся периметры двух правильных $n$-угольников?

9. Как относятся длины двух окружностей?

10. Что обозначает греческая буква $\pi$?

11. Чему равна длина окружности радиусом $R$?

12. Какие неравенства выполняются для числа $\pi$?

13. Каково приближенное значение числа $\pi$?

14. Чему равна длина дуги окружности в $1^\circ$?

15. Чему равна длина дуги окружности в $\phi$ градусов?

16. Чему равна градусная мера угла в 1 радиан?

1. Какой многоугольник называется правильным?
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы также равны между собой.
Ответ: выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

2. Около всякого ли правильного многоугольника можно описать окружность?
Да, около любого правильного многоугольника можно описать окружность, притом только одну. Центр этой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Ответ: да.

3. Как выражается радиус окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной a?
Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — длина стороны, а $n$ — число сторон правильного многоугольника. Радиус можно найти из равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $R$ и основанием $a$. Угол при вершине этого треугольника равен $\frac{360^\circ}{n}$. Половина этого угла равна $\frac{180^\circ}{n}$. Рассматривая прямоугольный треугольник, получаем соотношение $\sin(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{a/2}{R}$. Отсюда:
$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$.
Ответ: $R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$.

4. Можно ли вписать окружность в правильный многоугольник?
Да, в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр совпадает с центром описанной окружности, а сама окружность касается всех сторон многоугольника.
Ответ: да.

5. Как выражается радиус окружности, вписанной в правильный n-угольник со стороной a?
Пусть $r$ — радиус вписанной окружности (апофема), $a$ — длина стороны, а $n$ — число сторон. Из того же прямоугольного треугольника, что и в пункте 3, имеем соотношение $\tan(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{a/2}{r}$. Отсюда:
$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$.
Ответ: $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$.

6. Как выражается радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, через его полупериметр и площадь?
Площадь $S$ любого многоугольника, в который можно вписать окружность, связана с его полупериметром $p$ и радиусом вписанной окружности $r$ формулой $S = p \cdot r$. Из этой формулы можно выразить радиус:
$r = \frac{S}{p}$.
Ответ: $r = \frac{S}{p}$.

7. Что считается длиной окружности?
Длиной окружности называется предел, к которому стремится периметр правильного многоугольника, вписанного в эту окружность, при неограниченном увеличении числа его сторон.
Ответ: предел периметров вписанных в окружность правильных многоугольников при бесконечном увеличении числа их сторон.

8. Как относятся периметры двух правильных n-угольников?
Два правильных $n$-угольника подобны. Отношение их периметров ($P_1$ и $P_2$) равно коэффициенту подобия, то есть отношению их соответствующих линейных размеров, например, радиусов описанных окружностей ($R_1$ и $R_2$) или сторон ($a_1$ и $a_2$).
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{a_1}{a_2}$.
Ответ: как их соответствующие линейные размеры (например, радиусы описанных окружностей).

9. Как относятся длины двух окружностей?
Отношение длин двух окружностей ($C_1$ и $C_2$) равно отношению их радиусов ($R_1$ и $R_2$) или отношению их диаметров ($D_1$ и $D_2$).
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{D_1}{D_2}$.
Ответ: отношение длин окружностей равно отношению их радиусов.

10. Что обозначает греческая буква п?
Греческая буква $\pi$ (пи) обозначает математическую константу, равную отношению длины окружности к её диаметру. Это значение является постоянным для любой окружности.
Ответ: отношение длины окружности к её диаметру.

11. Чему равна длина окружности радиусом R?
Длина окружности $C$ (или периметр круга) с радиусом $R$ вычисляется по формуле:
$C = 2\pi R$.
Ответ: $C = 2\pi R$.

12. Какие неравенства выполняются для числа п?
Существует множество неравенств для числа $\pi$. Одно из классических, полученное Архимедом: $3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}$. Для практических целей часто используют более простое неравенство:
$3.141 < \pi < 3.142$.
Ответ: например, $3.14 < \pi < 3.15$.

13. Каково приближенное значение числа п?
В несложных расчетах обычно используют значение $\pi \approx 3.14$. Более точное значение, часто используемое в инженерии и науке: $\pi \approx 3.14159$. Также распространено приближение в виде обыкновенной дроби $\pi \approx \frac{22}{7}$.
Ответ: $\pi \approx 3.14$ или $\pi \approx \frac{22}{7}$.

14. Чему равна длина дуги окружности в 1°?
Длина всей окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$ и соответствует полному углу в $360^\circ$. Следовательно, длина дуги, стягивающей угол в $1^\circ$, в 360 раз меньше.
$l_{1^\circ} = \frac{2\pi R}{360} = \frac{\pi R}{180}$.
Ответ: $\frac{\pi R}{180}$.

15. Чему равна длина дуги окружности в φ градусов?
Длина дуги, соответствующая центральному углу в $\phi$ градусов, в $\phi$ раз больше длины дуги в $1^\circ$.
$l_{\phi^\circ} = \frac{\pi R}{180} \cdot \phi$.
Ответ: $\frac{\pi R \phi}{180}$.

16. Чему равна градусная мера угла в 1 радиан?
Полный оборот составляет $360^\circ$, что соответствует $2\pi$ радиан. Таким образом, $2\pi \text{ рад} = 360^\circ$. Чтобы найти градусную меру одного радиана, нужно разделить $360^\circ$ на $2\pi$.
$1 \text{ рад} = \frac{360^\circ}{2\pi} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.2958^\circ$.
Ответ: $\frac{180^\circ}{\pi}$.