Номер 20, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Постройте центры окружностей, описанных около четырехугольников, изображенных на рисунке 21.7. Найдите их радиусы, если стороны клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 21.7

а)

Центр окружности, описанной около четырехугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Введем систему координат так, чтобы левый нижний угол сетки соответствовал началу координат. Тогда вершины четырехугольника ABCD имеют координаты: $A(1, 1)$, $B(6, 1)$, $C(5, 4)$, $D(2, 4)$.

Этот четырехугольник является трапецией, так как основания $AB$ и $DC$ параллельны (лежат на прямых $y=1$ и $y=4$). Найдем длины боковых сторон:

$AD = \sqrt{(2-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$

$BC = \sqrt{(6-5)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$

Поскольку боковые стороны равны ($AD = BC$), трапеция является равнобедренной. Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность. Центр этой окружности лежит на оси симметрии трапеции, которая является серединным перпендикуляром к ее основаниям.

Середина основания $AB$ — точка с координатами $(\frac{1+6}{2}, \frac{1+1}{2}) = (3.5, 1)$. Серединный перпендикуляр к $AB$ — это вертикальная прямая $x = 3.5$. Это и есть ось симметрии трапеции.

Для нахождения центра окружности найдем серединный перпендикуляр к одной из боковых сторон, например, $AD$.

Середина стороны $AD$ — точка с координатами $(\frac{1+2}{2}, \frac{1+4}{2}) = (1.5, 2.5)$.

Угловой коэффициент прямой $AD$: $k_{AD} = \frac{4-1}{2-1} = 3$.

Угловой коэффициент серединного перпендикуляра к $AD$: $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AD}} = -\frac{1}{3}$.

Уравнение серединного перпендикуляра к $AD$: $y - 2.5 = -\frac{1}{3}(x - 1.5)$.

Центр окружности $O$ — это точка пересечения двух серединных перпендикуляров. Подставим $x = 3.5$ в уравнение перпендикуляра к $AD$:

$y - 2.5 = -\frac{1}{3}(3.5 - 1.5) = -\frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{2}{3}$

$y = 2.5 - \frac{2}{3} = \frac{5}{2} - \frac{2}{3} = \frac{15-4}{6} = \frac{11}{6}$

Таким образом, центр окружности $O$ имеет координаты $(3.5, \frac{11}{6})$.

Теперь найдем радиус $R$ как расстояние от центра $O$ до любой из вершин, например, до $A(1, 1)$:

$R^2 = (x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2 = (1 - 3.5)^2 + (1 - \frac{11}{6})^2 = (-2.5)^2 + (\frac{6-11}{6})^2 = (-\frac{5}{2})^2 + (-\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{36} = \frac{225+25}{36} = \frac{250}{36} = \frac{125}{18}$

$R = \sqrt{\frac{125}{18}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{\sqrt{9 \cdot 2}} = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{10}}{6}$

Ответ: Центр окружности находится в точке с координатами $(3.5, \frac{11}{6})$. Радиус окружности равен $\frac{5\sqrt{10}}{6}$.

б)

Проверим, можно ли описать окружность около данного четырехугольника. Для этого необходимо, чтобы серединные перпендикуляры ко всем его сторонам пересекались в одной точке.

Введем систему координат, поместив вершину $A$ в начало координат $(0, 0)$. Тогда, судя по рисунку, остальные вершины имеют координаты: $D(0, 3)$, $C(2, 4)$, $B(5, 4)$.

Найдем уравнения серединных перпендикуляров для двух сторон.

1. Сторона $AD$ лежит на оси $y$ (от $(0,0)$ до $(0,3)$). Ее середина — точка $(0, 1.5)$. Серединный перпендикуляр к ней — это горизонтальная прямая $y = 1.5$.

2. Сторона $BC$ — это горизонтальный отрезок от $(2,4)$ до $(5,4)$. Ее середина — точка $(\frac{2+5}{2}, \frac{4+4}{2}) = (3.5, 4)$. Серединный перпендикуляр к ней — это вертикальная прямая $x = 3.5$.

Если центр описанной окружности существует, он должен быть точкой пересечения этих двух перпендикуляров, то есть точкой $O(3.5, 1.5)$.

Теперь проверим, равноудалена ли эта точка от всех четырех вершин четырехугольника. Найдем квадраты расстояний от точки $O$ до вершин $A$ и $C$.

Расстояние до вершины $A(0, 0)$:

$OA^2 = (3.5 - 0)^2 + (1.5 - 0)^2 = 12.25 + 2.25 = 14.5$

Расстояние до вершины $C(2, 4)$:

$OC^2 = (3.5 - 2)^2 + (1.5 - 4)^2 = 1.5^2 + (-2.5)^2 = 2.25 + 6.25 = 8.5$

Поскольку $OA^2 \neq OC^2$, точка $O(3.5, 1.5)$ не является равноудаленной от всех вершин. Это означает, что серединные перпендикуляры ко всем сторонам не пересекаются в одной точке, и, следовательно, описать окружность около данного четырехугольника невозможно.

Ответ: Построить описанную окружность для данного четырехугольника невозможно, так как он не является вписанным.