Номер 13, страница 126 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника.

Для решения этой задачи используется свойство описанного четырехугольника. Основное свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность (описанного четырехугольника), заключается в том, что суммы длин его противолежащих сторон равны. Это утверждение известно как теорема Пиот.

Пусть последовательные стороны четырехугольника обозначаются как $a, b, c$ и $d$. По условию задачи нам даны длины трех последовательных сторон: $a = 6$ см, $b = 8$ см и $c = 9$ см. Нам необходимо найти длину четвертой стороны $d$ и периметр четырехугольника.

Найдите четвертую сторону
Согласно теореме Пиот для описанного четырехугольника, сумма длин первой и третьей сторон равна сумме длин второй и четвертой сторон. Математически это выражается формулой:
$a + c = b + d$
Подставим известные значения длин сторон в эту формулу:
$6 + 9 = 8 + d$
Выполним сложение в левой части уравнения:
$15 = 8 + d$
Чтобы найти $d$, вычтем 8 из обеих частей уравнения:
$d = 15 - 8$
$d = 7$ см
Таким образом, длина четвертой стороны четырехугольника составляет 7 см.
Ответ: 7 см.

и периметр этого четырехугольника
Периметр ($P$) четырехугольника — это сумма длин всех его сторон. Формула для вычисления периметра:
$P = a + b + c + d$
Теперь мы знаем длины всех четырех сторон: $a = 6$ см, $b = 8$ см, $c = 9$ см и $d = 7$ см. Подставим эти значения в формулу:
$P = 6 + 8 + 9 + 7$
Вычислим сумму. Удобно сгруппировать слагаемые, используя свойство равенства сумм противоположных сторон:
$P = (a + c) + (b + d) = (6 + 9) + (8 + 7) = 15 + 15 = 30$ см
Периметр четырехугольника равен 30 см.
Ответ: 30 см.