Номер 19, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной.

Пусть дана трапеция $ABCD$, около которой описана окружность. Это означает, что все четыре вершины трапеции $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности. Пусть $AD$ и $BC$ являются основаниями трапеции, следовательно, по определению трапеции, прямые, содержащие основания, параллельны: $AD \parallel BC$. Нам необходимо доказать, что данная трапеция является равнобедренной, то есть что её боковые стороны равны: $AB = CD$.

Для доказательства воспользуемся свойствами окружности. Так как вершины трапеции лежат на окружности, её стороны являются хордами этой окружности. В частности, основания $AD$ и $BC$ являются параллельными хордами.

Согласно известной теореме, дуги окружности, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. В нашем случае, между параллельными хордами $AD$ и $BC$ находятся дуги $AB$ и $CD$. Следовательно, их градусные меры равны: $\cup AB = \cup CD$.

Далее, воспользуемся свойством, связывающим дуги и хорды. В одной и той же окружности равные дуги стягиваются равными хордами. Поскольку дуги $AB$ и $CD$ равны, то и хорды, которые их стягивают, также равны. То есть, $AB = CD$.

Мы получили, что боковые стороны трапеции $ABCD$ равны. По определению, трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной (или равнобокой).

Таким образом, мы доказали, что если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.