Номер 16, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен $60^{\circ}$. Найдите радиус описанной окружности.

17. С

16. Пусть дан прямоугольник, меньшая сторона которого равна $a = 5$ см. Пусть диагонали этого прямоугольника пересекаются в точке $O$ под углом $60^\circ$.

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Центр этой окружности находится в точке пересечения диагоналей $O$. Радиус $R$ описанной окружности равен половине диагонали $d$: $R = d/2$.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и меньшей стороной прямоугольника. Пусть это будет треугольник $\triangle AOB$, где $AB = 5$ см — меньшая сторона, а $AO$ и $BO$ — половины диагоналей.

В этом треугольнике $AO = BO = R$, следовательно, он является равнобедренным.

Углы между диагоналями в точке их пересечения — это два острых и два тупых угла, которые попарно равны и в сумме дают $360^\circ$. Острый угол равен $60^\circ$, а тупой — $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. Меньшей стороне прямоугольника ($a$) соответствует меньший угол между диагоналями, то есть острый угол. Значит, угол при вершине O в треугольнике $\triangle AOB$ равен $60^\circ$, то есть $\angle AOB = 60^\circ$.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, у которого угол при вершине $\angle AOB = 60^\circ$. Углы при основании этого треугольника равны:$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все углы треугольника $\triangle AOB$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны: $AO = BO = AB$.

Из условия задачи мы знаем, что меньшая сторона $AB = 5$ см. Следовательно, $AO = 5$ см.

Так как радиус описанной окружности $R$ равен длине отрезка $AO$, то $R = 5$ см.

Ответ: $R = 5$ см.