Номер 10, страница 126 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Укажите центры окружностей, вписанных в четырехугольники, изображенные на рисунке 21.6.

а)

б)

Рис. 21.6

а)Чтобы найти центр вписанной окружности, необходимо найти точку, равноудаленную от всех сторон четырехугольника. Такой точкой является точка пересечения биссектрис углов четырехугольника.В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.Введем систему координат, где за единичный отрезок принята сторона клетки, а начало координат (0,0) находится в левом нижнем углу сетки, на которой расположен четырехугольник.Тогда вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: A(3, 1), B(5, 3), C(3, 5), D(1, 3).Найдем длины сторон четырехугольника по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:$AB = \sqrt{(5-3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$BC = \sqrt{(3-5)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$CD = \sqrt{(1-3)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$DA = \sqrt{(3-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$Так как все стороны четырехугольника равны ($AB=BC=CD=DA$), то данный четырехугольник является ромбом. В любой ромб можно вписать окружность, так как суммы его противолежащих сторон равны ($AB+CD = BC+DA$).Центр вписанной в ромб окружности совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Найдем координаты этой точки как середины одной из диагоналей, например, AC.Координаты середины отрезка AC с концами в точках A(3, 1) и C(3, 5) равны:$x_O = \frac{3+3}{2} = 3$$y_O = \frac{1+5}{2} = 3$Таким образом, центр вписанной окружности находится в точке O с координатами (3, 3).
Ответ: Центр вписанной окружности находится в точке пересечения диагоналей четырехугольника, которая имеет координаты (3, 3) в системе координат, где левый нижний узел сетки — точка (0,0).

б)Применим тот же подход. Введем систему координат с началом в левом нижнем углу сетки.Вершины четырехугольника ABCD имеют координаты: A(1, 1), B(4, 2), C(5, 5), D(2, 4).Найдем длины сторон:$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$$BC = \sqrt{(5-4)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$$CD = \sqrt{(2-5)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$$DA = \sqrt{(1-2)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$Все стороны четырехугольника равны, следовательно, это ромб. В него можно вписать окружность.Центр вписанной окружности является точкой пересечения диагоналей. Найдем координаты этой точки как середины диагонали AC с концами в точках A(1, 1) и C(5, 5):$x_O = \frac{1+5}{2} = 3$$y_O = \frac{1+5}{2} = 3$Центр вписанной окружности находится в точке O с координатами (3, 3).
Ответ: Центр вписанной окружности находится в точке пересечения диагоналей четырехугольника, которая имеет координаты (3, 3) в системе координат, где левый нижний узел сетки — точка (0,0).