Номер 9, страница 126 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Можно ли вписать окружность в:

а) квадрат;

б) прямоугольник, отличный от квадрата;

в) ромб;

г) параллелограмм, отличный от ромба?

Основным критерием для возможности вписать окружность в выпуклый четырехугольник является равенство сумм его противолежащих сторон. То есть, если стороны четырехугольника последовательно равны $a, b, c, d$, то должно выполняться условие $a + c = b + d$. Рассмотрим каждый случай.

а) квадрат

Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Пусть сторона квадрата равна $s$. Тогда все четыре стороны равны $s$. Проверим условие для вписанной окружности: сумма одной пары противолежащих сторон равна $s + s = 2s$, сумма другой пары также равна $s + s = 2s$. Так как $2s = 2s$, условие выполняется. В любой квадрат можно вписать окружность. Ее центр будет в точке пересечения диагоналей, а радиус будет равен половине стороны квадрата.

Ответ: да, можно.

б) прямоугольник, отличный от квадрата

У прямоугольника противолежащие стороны равны. Пусть смежные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Поскольку прямоугольник отличен от квадрата, то $a \neq b$. Сумма одной пары противолежащих сторон равна $a + a = 2a$. Сумма другой пары противолежащих сторон равна $b + b = 2b$. Условие для вписанной окружности $2a = 2b$ выполняется только если $a = b$. Но это противоречит условию, что прямоугольник не является квадратом. Следовательно, в прямоугольник, не являющийся квадратом, нельзя вписать окружность.

Ответ: нет, нельзя.

в) ромб

Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Пусть сторона ромба равна $s$. Тогда все четыре стороны равны $s$. Суммы противолежащих сторон равны: $s + s = 2s$ и $s + s = 2s$. Условие $2s = 2s$ выполняется всегда. Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр этой окружности находится в точке пересечения диагоналей ромба.

Ответ: да, можно.

г) параллелограмм, отличный от ромба

У параллелограмма, как и у прямоугольника, противолежащие стороны равны. Пусть смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. По условию, параллелограмм не является ромбом, значит, его смежные стороны не равны, то есть $a \neq b$. Сумма одной пары противолежащих сторон равна $a + a = 2a$. Сумма другой пары равна $b + b = 2b$. Условие вписанной окружности $2a = 2b$ свелось бы к равенству $a = b$, что означало бы, что параллелограмм является ромбом. Это противоречит условию задачи. Значит, в параллелограмм, который не является ромбом, вписать окружность нельзя.

Ответ: нет, нельзя.