Номер 2, страница 126 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Укажите центры окружностей, описанных около четырехугольников, изображенных на рисунке 21.5. Найдите их радиусы, если стороны клеток равны 1.

a)

Центр окружности: $(2.5, 2.5)$. Радиус: $R = \frac{1}{2}\sqrt{34}$.

б)

Центр окружности: $(3, 3)$. Радиус: $R = \sqrt{10}$.

Рис. 21.5

а)

Четырехугольник, изображенный на рисунке а), является прямоугольником. Введем систему координат, поместив вершину A в начало координат (0, 0). Так как сторона клетки равна 1, то координаты вершин будут: A(0, 0), B(5, 0), C(5, 3) и D(0, 3).

Центр описанной окружности около прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей. Эта точка является серединой любой из диагоналей. Найдем координаты середины диагонали AC, обозначив ее O:

$x_O = \frac{x_A+x_C}{2} = \frac{0+5}{2} = 2.5$

$y_O = \frac{y_A+y_C}{2} = \frac{0+3}{2} = 1.5$

Следовательно, центр описанной окружности — это точка O(2.5, 1.5).

Радиус описанной окружности R равен половине длины диагонали. Найдем длину диагонали AC по теореме Пифагора для треугольника ABC (или по формуле расстояния между двумя точками):

$d = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.

Радиус равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{34}}{2}$.

Ответ: Центр окружности находится в точке пересечения диагоналей прямоугольника; $R = \frac{\sqrt{34}}{2}$.

б)

Введем систему координат так, чтобы левый нижний угол сетки был в точке (0, 0). Тогда вершины четырехугольника ABCD имеют координаты: A(0, 2), B(3, 0), C(4, 3) и D(1, 5).

Определим тип четырехугольника. Найдем наклоны его сторон:

Наклон AB: $k_{AB} = \frac{0-2}{3-0} = -\frac{2}{3}$.

Наклон DC: $k_{DC} = \frac{3-5}{4-1} = -\frac{2}{3}$.

Поскольку наклоны равны, стороны AB и DC параллельны. Значит, ABCD — трапеция.

Теперь найдем длины непараллельных сторон AD и BC:

$AD = \sqrt{(1-0)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.

$BC = \sqrt{(4-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.

Так как непараллельные стороны равны, трапеция является равнобедренной. Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Центр описанной окружности лежит на оси симметрии трапеции, которая является серединным перпендикуляром к основаниям. Также центр равноудален от всех вершин, поэтому он лежит на пересечении серединных перпендикуляров к любым двум сторонам.

Найдем уравнение оси симметрии, проходящей через середины оснований AB и DC.

Середина AB: $M_{AB} = (\frac{0+3}{2}, \frac{2+0}{2}) = (1.5, 1)$.

Середина DC: $M_{DC} = (\frac{1+4}{2}, \frac{5+3}{2}) = (2.5, 4)$.

Наклон оси симметрии: $k_{axis} = \frac{4-1}{2.5-1.5} = \frac{3}{1} = 3$.

Уравнение оси симметрии (проходит через $M_{AB}$): $y - 1 = 3(x - 1.5) \Rightarrow y = 3x - 3.5$.

Теперь найдем уравнение серединного перпендикуляра к стороне AD.

Середина AD: $M_{AD} = (\frac{0+1}{2}, \frac{2+5}{2}) = (0.5, 3.5)$.

Наклон AD: $k_{AD} = \frac{5-2}{1-0} = 3$. Наклон перпендикуляра равен $-\frac{1}{3}$.

Уравнение перпендикуляра: $y - 3.5 = -\frac{1}{3}(x - 0.5) \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{6} + 3.5 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$.

Центр окружности O — это точка пересечения этих двух прямых. Решим систему уравнений:

$3x - 3.5 = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$

$3x + \frac{1}{3}x = \frac{11}{3} + 3.5 \Rightarrow \frac{10}{3}x = \frac{11}{3} + \frac{7}{2} \Rightarrow \frac{10}{3}x = \frac{22+21}{6} = \frac{43}{6}$

$x = \frac{43}{6} \cdot \frac{3}{10} = \frac{43}{20} = 2.15$.

$y = 3x - 3.5 = 3(\frac{43}{20}) - \frac{7}{2} = \frac{129}{20} - \frac{70}{20} = \frac{59}{20} = 2.95$.

Центр окружности O(2.15, 2.95).

Радиус R — это расстояние от центра O до любой из вершин, например, до D(1, 5).

$R^2 = (x_D - x_O)^2 + (y_D - y_O)^2 = (1 - \frac{43}{20})^2 + (5 - \frac{59}{20})^2$

$R^2 = (\frac{20-43}{20})^2 + (\frac{100-59}{20})^2 = (-\frac{23}{20})^2 + (\frac{41}{20})^2 = \frac{529}{400} + \frac{1681}{400} = \frac{2210}{400} = \frac{221}{40}$.

$R = \sqrt{\frac{221}{40}} = \frac{\sqrt{2210}}{20}$.

Ответ: Центр окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам; $R = \frac{\sqrt{2210}}{20}$.