Задания, страница 125 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Попробуйте доказать, что для выпуклых четырехугольников справедливо и обратное утверждение, т. е. если суммы противолежащих сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Приведите опровергающий пример для невыпуклых четырехугольников.

Проведите его самостоятельно.

Доказательство для выпуклых четырехугольников

Требуется доказать, что если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Это утверждение известно как теорема Пито (обратная).

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором выполняется равенство $AB + CD = BC + DA$.

Доказательство проведем методом от противного или конструктивным методом. Рассмотрим конструктивный метод, который является более наглядным.

Перепишем условие в виде $AB - DA = BC - CD$.

Рассмотрим случай, когда стороны не равны. Предположим, без ограничения общности, что $AB > DA$. Тогда из равенства следует, что $BC > CD$.

1. На стороне $AB$ отложим отрезок $AK$, равный стороне $DA$. Так как $AB > DA$, точка $K$ будет лежать между $A$ и $B$. Треугольник $\triangle ADK$ является равнобедренным ($AD = AK$).

2. На стороне $BC$ отложим отрезок $CM$, равный стороне $CD$. Так как $BC > CD$, точка $M$ будет лежать между $B$ и $C$. Треугольник $\triangle CDM$ является равнобедренным ($CD = CM$).

3. Рассмотрим отрезки $BK$ и $BM$.
$BK = AB - AK = AB - DA$.
$BM = BC - CM = BC - CD$.
Поскольку по условию $AB - DA = BC - CD$, то $BK = BM$. Следовательно, треугольник $\triangle BKM$ также является равнобедренным.

4. Проведем биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ четырехугольника $ABCD$.

- Биссектриса угла $A$ в равнобедренном треугольнике $\triangle ADK$ является также его высотой и медианой, а значит, и серединным перпендикуляром к основанию $DK$.

- Биссектриса угла $B$ в равнобедренном треугольнике $\triangle BKM$ является серединным перпендикуляром к основанию $KM$.

- Биссектриса угла $C$ в равнобедренном треугольнике $\triangle CDM$ является серединным перпендикуляром к основанию $DM$.

5. Таким образом, биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ нашего четырехугольника являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника $\triangle DKM$. Как известно, серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около этого треугольника окружности.

6. Пусть эта точка пересечения — точка $O$. Так как точка $O$ лежит на биссектрисе каждого из углов $A$, $B$ и $C$, она равноудалена от сторон, образующих эти углы:

- $O$ на биссектрисе $\angle A \implies$ расстояние от $O$ до $AB$ равно расстоянию до $DA$.

- $O$ на биссектрисе $\angle B \implies$ расстояние от $O$ до $AB$ равно расстоянию до $BC$.

- $O$ на биссектрисе $\angle C \implies$ расстояние от $O$ до $BC$ равно расстоянию до $CD$.

Отсюда следует, что точка $O$ равноудалена от всех четырех сторон четырехугольника $ABCD$. Следовательно, она является центром окружности, которую можно вписать в данный четырехугольник.

Случай, когда $AB < DA$, рассматривается аналогично, только точки $K$ и $M$ будут лежать на продолжениях сторон. Если $AB = DA$, то $BC = CD$, и четырехугольник является дельтоидом, в который всегда можно вписать окружность.

Доказательство завершено.

Ответ: Утверждение доказано. В выпуклый четырехугольник, у которого суммы длин противолежащих сторон равны, можно вписать окружность.

Опровергающий пример для невыпуклых четырехугольников

Для невыпуклых четырехугольников утверждение в общем случае неверно, если под "вписанной окружностью" понимать окружность, которая целиком лежит внутри области, ограниченной сторонами четырехугольника, и касается всех четырех сторон.

Дело в том, что у невыпуклого четырехугольника есть хотя бы один внутренний угол, больший $180^\circ$ (так называемый рефлексный или вогнутый угол). Пусть в невыпуклом четырехугольнике $ABCD$ угол при вершине $C$ — рефлексный.

Предположим, что в такой четырехугольник можно вписать окружность. Это означает, что центр окружности $O$ должен лежать внутри четырехугольника и быть равноудаленным от всех его сторон. Для касания сторон $BC$ и $CD$ центр $O$ должен лежать на биссектрисе угла $\angle BCD$. Однако, поскольку внутренний угол $\angle BCD > 180^\circ$, любая точка на его биссектрисе (кроме самой вершины $C$) будет находиться вне области, ограниченной лучами $CB$ и $CD$, которые формируют угол. Следовательно, центр окружности, касающейся этих сторон, не может находиться внутри четырехугольника. Таким образом, вписать окружность внутрь невыпуклого многоугольника невозможно в принципе.

В качестве опровергающего примера можно привести любой невыпуклый четырехугольник, у которого суммы длин противолежащих сторон равны. Простейшим таким примером является невыпуклый дельтоид (или "дротик").

Рассмотрим невыпуклый четырехугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(0, 4)$, $B(3, 0)$, $C(0, -2)$, $D(-3, 0)$. Угол при вершине $C$ является рефлексным.

Найдем длины его сторон:

$AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

$BC = \sqrt{(0-3)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$

$CD = \sqrt{(-3-0)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$

$DA = \sqrt{(0-(-3))^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

Проверим равенство сумм противолежащих сторон:

$AB + CD = 5 + \sqrt{13}$

$BC + DA = \sqrt{13} + 5$

Равенство $AB + CD = BC + DA$ выполняется. Однако, как было показано выше, в этот невыпуклый четырехугольник невозможно вписать окружность так, чтобы она находилась внутри него.

Ответ: Пример невыпуклого четырехугольника $ABCD$ с вершинами $A(0, 4)$, $B(3, 0)$, $C(0, -2)$, $D(-3, 0)$. Для него выполняется условие равенства сумм противолежащих сторон ($5+\sqrt{13} = \sqrt{13}+5$), но в него нельзя вписать окружность, так как он является невыпуклым.