Страница 125 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Попробуйте доказать, что для выпуклых четырехугольников справедливо и обратное утверждение, т. е. если суммы противолежащих сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Приведите опровергающий пример для невыпуклых четырехугольников.

Проведите его самостоятельно.

Доказательство для выпуклых четырехугольников

Требуется доказать, что если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Это утверждение известно как теорема Пито (обратная).

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором выполняется равенство $AB + CD = BC + DA$.

Доказательство проведем методом от противного или конструктивным методом. Рассмотрим конструктивный метод, который является более наглядным.

Перепишем условие в виде $AB - DA = BC - CD$.

Рассмотрим случай, когда стороны не равны. Предположим, без ограничения общности, что $AB > DA$. Тогда из равенства следует, что $BC > CD$.

1. На стороне $AB$ отложим отрезок $AK$, равный стороне $DA$. Так как $AB > DA$, точка $K$ будет лежать между $A$ и $B$. Треугольник $\triangle ADK$ является равнобедренным ($AD = AK$).

2. На стороне $BC$ отложим отрезок $CM$, равный стороне $CD$. Так как $BC > CD$, точка $M$ будет лежать между $B$ и $C$. Треугольник $\triangle CDM$ является равнобедренным ($CD = CM$).

3. Рассмотрим отрезки $BK$ и $BM$.
$BK = AB - AK = AB - DA$.
$BM = BC - CM = BC - CD$.
Поскольку по условию $AB - DA = BC - CD$, то $BK = BM$. Следовательно, треугольник $\triangle BKM$ также является равнобедренным.

4. Проведем биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ четырехугольника $ABCD$.

- Биссектриса угла $A$ в равнобедренном треугольнике $\triangle ADK$ является также его высотой и медианой, а значит, и серединным перпендикуляром к основанию $DK$.

- Биссектриса угла $B$ в равнобедренном треугольнике $\triangle BKM$ является серединным перпендикуляром к основанию $KM$.

- Биссектриса угла $C$ в равнобедренном треугольнике $\triangle CDM$ является серединным перпендикуляром к основанию $DM$.

5. Таким образом, биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ нашего четырехугольника являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника $\triangle DKM$. Как известно, серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около этого треугольника окружности.

6. Пусть эта точка пересечения — точка $O$. Так как точка $O$ лежит на биссектрисе каждого из углов $A$, $B$ и $C$, она равноудалена от сторон, образующих эти углы:

- $O$ на биссектрисе $\angle A \implies$ расстояние от $O$ до $AB$ равно расстоянию до $DA$.

- $O$ на биссектрисе $\angle B \implies$ расстояние от $O$ до $AB$ равно расстоянию до $BC$.

- $O$ на биссектрисе $\angle C \implies$ расстояние от $O$ до $BC$ равно расстоянию до $CD$.

Отсюда следует, что точка $O$ равноудалена от всех четырех сторон четырехугольника $ABCD$. Следовательно, она является центром окружности, которую можно вписать в данный четырехугольник.

Случай, когда $AB < DA$, рассматривается аналогично, только точки $K$ и $M$ будут лежать на продолжениях сторон. Если $AB = DA$, то $BC = CD$, и четырехугольник является дельтоидом, в который всегда можно вписать окружность.

Доказательство завершено.

Ответ: Утверждение доказано. В выпуклый четырехугольник, у которого суммы длин противолежащих сторон равны, можно вписать окружность.

Опровергающий пример для невыпуклых четырехугольников

Для невыпуклых четырехугольников утверждение в общем случае неверно, если под "вписанной окружностью" понимать окружность, которая целиком лежит внутри области, ограниченной сторонами четырехугольника, и касается всех четырех сторон.

Дело в том, что у невыпуклого четырехугольника есть хотя бы один внутренний угол, больший $180^\circ$ (так называемый рефлексный или вогнутый угол). Пусть в невыпуклом четырехугольнике $ABCD$ угол при вершине $C$ — рефлексный.

Предположим, что в такой четырехугольник можно вписать окружность. Это означает, что центр окружности $O$ должен лежать внутри четырехугольника и быть равноудаленным от всех его сторон. Для касания сторон $BC$ и $CD$ центр $O$ должен лежать на биссектрисе угла $\angle BCD$. Однако, поскольку внутренний угол $\angle BCD > 180^\circ$, любая точка на его биссектрисе (кроме самой вершины $C$) будет находиться вне области, ограниченной лучами $CB$ и $CD$, которые формируют угол. Следовательно, центр окружности, касающейся этих сторон, не может находиться внутри четырехугольника. Таким образом, вписать окружность внутрь невыпуклого многоугольника невозможно в принципе.

В качестве опровергающего примера можно привести любой невыпуклый четырехугольник, у которого суммы длин противолежащих сторон равны. Простейшим таким примером является невыпуклый дельтоид (или "дротик").

Рассмотрим невыпуклый четырехугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(0, 4)$, $B(3, 0)$, $C(0, -2)$, $D(-3, 0)$. Угол при вершине $C$ является рефлексным.

Найдем длины его сторон:

$AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

$BC = \sqrt{(0-3)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$

$CD = \sqrt{(-3-0)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$

$DA = \sqrt{(0-(-3))^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

Проверим равенство сумм противолежащих сторон:

$AB + CD = 5 + \sqrt{13}$

$BC + DA = \sqrt{13} + 5$

Равенство $AB + CD = BC + DA$ выполняется. Однако, как было показано выше, в этот невыпуклый четырехугольник невозможно вписать окружность так, чтобы она находилась внутри него.

Ответ: Пример невыпуклого четырехугольника $ABCD$ с вершинами $A(0, 4)$, $B(3, 0)$, $C(0, -2)$, $D(-3, 0)$. Для него выполняется условие равенства сумм противолежащих сторон ($5+\sqrt{13} = \sqrt{13}+5$), но в него нельзя вписать окружность, так как он является невыпуклым.

1. Какой многоугольник называется вписанным в окружность?

2. Какая окружность называется описанной около многоугольника?

3. Около всякого ли четырехугольника можно описать окружность?

4. Какой многоугольник называется описанным около окружности?

5. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

6. Во всякий ли четырехугольник можно вписать окружность?

7. Как выражается радиус окружности, вписанной в четырехугольник, через его полупериметр и площадь? $r = \frac{S}{p}$

1. Какой многоугольник называется вписанным в окружность?

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Иначе говоря, окружность проходит через каждую вершину многоугольника. Центр такой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Ответ: Многоугольник, все вершины которого лежат на окружности.

2. Какая окружность называется описанной около многоугольника?

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Такая окружность единственна для данного многоугольника, и ее центр равноудален от всех вершин. Понятия "вписанный многоугольник" и "описанная окружность" являются взаимодополняющими.

Ответ: Окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.

3. Около всякого ли четырехугольника можно описать окружность?

Нет, не около всякого. Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась $180^\circ$. Если $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ — углы четырехугольника, то должно выполняться условие $\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$. Например, около прямоугольника и равнобедренной трапеции можно описать окружность, а около произвольного параллелограмма (не прямоугольника) — нельзя.

Ответ: Нет, только в том случае, если сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

4. Какой многоугольник называется описанным около окружности?

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Это означает, что окружность находится внутри многоугольника, и каждая сторона многоугольника имеет с ней ровно одну общую точку (точку касания). Центр такой окружности является точкой пересечения биссектрис углов многоугольника.

Ответ: Многоугольник, все стороны которого касаются окружности.

5. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон многоугольника. Понятия "описанный многоугольник" и "вписанная окружность" описывают одну и ту же геометрическую конфигурацию с разных точек зрения.

Ответ: Окружность, которая касается всех сторон многоугольника.

6. Во всякий ли четырехугольник можно вписать окружность?

Нет, не во всякий. Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Это свойство известно как теорема Пито. Если $a, b, c, d$ — длины последовательных сторон четырехугольника, то должно выполняться равенство $a + c = b + d$. Например, в ромб или квадрат всегда можно вписать окружность, а в прямоугольник (не квадрат) — нельзя.

Ответ: Нет, только если суммы длин его противолежащих сторон равны ($a+c=b+d$).

7. Как выражается радиус окружности, вписанной в четырехугольник, через его полупериметр и площадь?

Эта формула справедлива для любого многоугольника, в который можно вписать окружность. Площадь $S$ такого многоугольника связана с радиусом $r$ вписанной окружности и его полупериметром $p$ простой зависимостью. Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон. Формула площади: $S = p \cdot r$. Выражая из этой формулы радиус, получаем соотношение для его нахождения.

Ответ: Радиус $r$ окружности, вписанной в четырехугольник, выражается формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь четырехугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Нарисуйте окружность и четырехугольник, вписанный в эту окружность.

1. Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Чтобы нарисовать такую геометрическую фигуру, необходимо выполнить следующие действия:
1. Начертить произвольную окружность.
2. Отметить на линии окружности четыре любые точки.
3. Последовательно соединить эти точки отрезками, чтобы получился замкнутый четырехугольник.

В результате получится четырехугольник, вписанный в окружность. Ниже приведен пример такого построения.


На рисунке изображен четырехугольник ABCD, вписанный в окружность с центром в точке O. Все его вершины A, B, C и D находятся на окружности.

Важнейшее свойство любого вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов всегда равна $180^\circ$. Для четырехугольника ABCD это выражается следующими равенствами:
$ \angle A + \angle C = 180^\circ $
$ \angle B + \angle D = 180^\circ $

Ответ: Наглядное решение задачи представлено на рисунке выше, где изображена окружность и вписанный в нее произвольный четырехугольник ABCD.