Страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Сделайте это самостоятельно.

На изображении находится инструкция «Сделайте это самостоятельно», которая предполагает наличие определенной задачи или вопроса для выполнения. Однако само условие задачи на предоставленном изображении отсутствует. Пожалуйста, предоставьте полный текст задачи, и я смогу предоставить развернутое решение.

Ответ: Решение не может быть предоставлено, так как отсутствует условие задачи.

1. Какой треугольник называется вписанным в окружность?

2. Какая окружность называется описанной около треугольника?

3. Около всякого ли треугольника можно описать окружность?

4. Где находится центр описанной около треугольника окружности?

5. Как выражается радиус окружности, описанной около треугольника, через его стороны и площадь?

6. Как выражается радиус окружности, вписанной в треугольник, через его периметр и площадь?

7. Какая окружность называется вневписанной в треугольник?

8. Что является центром окружности, вневписанной в треугольник?

1. Какой треугольник называется вписанным в окружность?

Треугольник называется вписанным в окружность, если все три его вершины лежат на этой окружности. Иначе говоря, окружность проходит через все вершины треугольника. Такую окружность называют описанной около треугольника.

Ответ: Треугольник, все вершины которого лежат на окружности.

2. Какая окружность называется описанной около треугольника?

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три вершины этого треугольника. Для любого треугольника существует только одна описанная окружность.

Ответ: Окружность, которая проходит через все три вершины треугольника.

3. Около всякого ли треугольника можно описать окружность?

Да, около любого треугольника можно описать окружность, причём только одну. Это следует из того, что серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая и является центром описанной окружности. Эта точка равноудалена от всех трёх вершин треугольника.

Ответ: Да, около всякого треугольника можно описать окружность.

4. Где находится центр описанной около треугольника окружности?

Центр описанной около треугольника окружности (называемый также циркумцентром) находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Положение этого центра зависит от вида треугольника:

• в остроугольном треугольнике — внутри треугольника;
• в прямоугольном треугольнике — на середине гипотенузы;
• в тупоугольном треугольнике — вне треугольника.

Ответ: Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

5. Как выражается радиус окружности, описанной около треугольника, через его стороны и площадь?

Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле, связывающей его со сторонами треугольника $a, b, c$ и его площадью $S$. Эта формула является следствием из обобщенной теоремы синусов и формулы площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Формула для радиуса выглядит так:

$R = \frac{abc}{4S}$

Ответ: Радиус описанной окружности $R$ выражается формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – длины сторон треугольника, а $S$ – его площадь.

6. Как выражается радиус окружности, вписанной в треугольник, через его периметр и площадь?

Радиус $r$ вписанной в треугольник окружности выражается через его площадь $S$ и полупериметр $p$. Полупериметр $p$ — это половина периметра, т.е. $p = \frac{a+b+c}{2}$. Площадь треугольника можно представить как сумму площадей трех треугольников, образованных сторонами исходного треугольника и отрезками, соединяющими центр вписанной окружности с вершинами. Высота каждого из этих треугольников равна радиусу $r$. Таким образом, $S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \cdot \frac{a+b+c}{2} = r \cdot p$. Отсюда получаем формулу:

$r = \frac{S}{p}$

Ответ: Радиус вписанной окружности $r$ выражается формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

7. Какая окружность называется вневписанной в треугольник?

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, которая касается одной из его сторон, а также продолжений двух других сторон. У каждого треугольника есть три вневписанные окружности, по одной для каждой стороны.

Ответ: Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

8. Что является центром окружности, вневписанной в треугольник?

Центр вневписанной окружности (называемый также эксцентром) — это точка пересечения биссектрисы одного внутреннего угла треугольника и биссектрис двух внешних углов, не смежных с данным внутренним углом. Так как у треугольника три внутренних угла, то существует и три центра вневписанных окружностей. Каждый такой центр равноудалён от одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Ответ: Центром вневписанной окружности является точка пересечения биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис двух внешних углов треугольника.

1. Изобразите треугольник, вписанную в него и описанную около него окружности.

1. Чтобы изобразить треугольник с вписанной в него и описанной около него окружностями, необходимо понимать определения и методы построения этих двух типов окружностей.

Вписанная окружность

Это окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех трёх его сторон.
- Её центр, называемый инцентром, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
- Её радиус ($r$) — это длина перпендикуляра, опущенного из инцентра на любую из сторон. Радиус можно вычислить по формуле: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр ($p = \frac{a+b+c}{2}$).

Описанная окружность

Это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника.
- Её центр, называемый циркумцентром, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
- Её радиус ($R$) — это расстояние от циркумцентра до любой из вершин. Радиус можно вычислить по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — длины сторон, а $S$ — площадь треугольника.

Порядок построения:

1. Изобразить произвольный треугольник $\triangle ABC$.

2. Для построения вписанной окружности: найти её центр, проведя биссектрисы двух любых углов. Точка их пересечения $O_1$ и будет центром. Радиусом $r$ будет перпендикуляр, опущенный из $O_1$ на любую сторону. Построить окружность с центром $O_1$ и радиусом $r$.

3. Для построения описанной окружности: найти её центр, проведя серединные перпендикуляры к двум любым сторонам. Точка их пересечения $O_2$ и будет центром. Радиусом $R$ будет расстояние от $O_2$ до любой вершины (например, $O_2A$). Построить окружность с центром $O_2$ и радиусом $R$.

Ответ:

На рисунке представлен треугольник $ABC$. Красная окружность с центром в точке $O_1$ является вписанной — она касается каждой из трёх сторон треугольника. Синяя окружность с центром в точке $O_2$ является описанной — она проходит через все три вершины $A, B, C$.

2. Может ли центр окружности, описанной около треугольника, находиться:

а) внутри треугольника;

б) на стороне треугольника;

в) вне этого треугольника?

Приведите примеры.

Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Положение этого центра зависит от вида треугольника.

а) внутри треугольника
Да, центр описанной окружности может находиться внутри треугольника. Это происходит тогда и только тогда, когда треугольник является остроугольным, то есть все его углы меньше $90^\circ$. У остроугольного треугольника все серединные перпендикуляры пересекаются внутри него.
Пример: Возьмем равносторонний треугольник. Все его углы равны $60^\circ$, поэтому он является остроугольным. Центр его описанной окружности находится внутри треугольника (он также является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот).
Ответ: да, может, если треугольник остроугольный.

б) на стороне треугольника
Да, центр описанной окружности может находиться на стороне треугольника. Это происходит тогда и только тогда, когда треугольник является прямоугольным. Угол, вписанный в окружность и равный $90^\circ$, опирается на её диаметр. Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности, а центр окружности находится на середине гипотенузы.
Пример: Любой прямоугольный треугольник. Например, египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5. Центр описанной окружности будет лежать на середине гипотенузы (стороны длиной 5).
Ответ: да, может, если треугольник прямоугольный, и центр находится на середине гипотенузы.

в) вне этого треугольника
Да, центр описанной окружности может находиться вне треугольника. Это происходит тогда и только тогда, когда треугольник является тупоугольным, то есть один из его углов больше $90^\circ$. В этом случае точка пересечения серединных перпендикуляров лежит вне треугольника, со стороны, противоположной вершине тупого угла относительно противолежащей стороны.
Пример: Возьмем треугольник с углами $120^\circ$, $30^\circ$ и $30^\circ$. Этот треугольник тупоугольный. Центр описанной около него окружности будет находиться за пределами треугольника.
Ответ: да, может, если треугольник тупоугольный.

3. Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?

Центр окружности, описанной около любого треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В случае прямоугольного треугольника расположение этого центра можно определить, используя свойство вписанных углов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$. Этот прямой угол, как и любой другой угол треугольника, является вписанным в описанную окружность.

Согласно теореме о вписанном угле, если вписанный угол равен $90^\circ$, то он опирается на диаметр окружности. В прямоугольном треугольнике прямой угол опирается на противолежащую ему сторону — гипотенузу.

Из этого следует, что гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности.

Центр любой окружности находится в середине её диаметра. Следовательно, центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, располагается точно в середине его гипотенузы. Радиус такой окружности $R$ равен половине длины гипотенузы $c$: $R = \frac{c}{2}$.

Ответ: Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы.