Страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. На рисунке 19.11 прямая касается двух окружностей с центрами $O_1, O_2$ и радиусами 4 и 10 соответственно, $A_1, A_2$ — точки касания, $AA_1 = 3$. Найдите $AA_2$.

Рис. 19.11

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно. Из условия задачи известно, что $r_1 = 4$, $r_2 = 10$. Прямая, проходящая через точки $A_1$ и $A_2$, является общей касательной к этим окружностям.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $O_1A_1 \perp A_1A_2$ и $O_2A_2 \perp A_1A_2$. Отсюда следует, что прямые $O_1A_1$ и $O_2A_2$ параллельны.

Рассмотрим треугольники $\triangle AO_1A_1$ и $\triangle AO_2A_2$. Точка $A$ является точкой пересечения линии центров $O_1O_2$ и общей касательной $A_1A_2$.

Эти треугольники подобны, так как:
1. $\angle A$ — общий для обоих треугольников.
2. $\angle AA_1O_1 = \angle AA_2O_2 = 90^\circ$ — так как это углы между касательной и радиусами.
Таким образом, $\triangle AO_1A_1 \sim \triangle AO_2A_2$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Запишем пропорцию для катетов:
$\frac{AA_1}{AA_2} = \frac{O_1A_1}{O_2A_2}$

Длины катетов $O_1A_1$ и $O_2A_2$ равны радиусам соответствующих окружностей, то есть $O_1A_1 = r_1 = 4$ и $O_2A_2 = r_2 = 10$. Длина отрезка $AA_1$ дана в условии и равна 3. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{3}{AA_2} = \frac{4}{10}$

Выразим $AA_2$:
$AA_2 = \frac{3 \times 10}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$

Ответ: 7.5

15. Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая касается этих окружностей в точках C и D. Докажите, что прямая AB пересекает отрезок CD в его середине E (рис. 19.12).

Рис. 19.12

Рассмотрим точку E, которая является точкой пересечения прямой AB и прямой CD. Нам необходимо доказать, что E — середина отрезка CD, то есть $CE = ED$.

Точка E лежит на прямой CD, которая является касательной к первой окружности (с центром $O_1$) в точке C. Также точка E лежит на прямой AB, которая является секущей для этой же окружности, пересекая её в точках A и B.

По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от этой точки до точек пересечения с окружностью. Для первой окружности и точки E имеем:

$EC^2 = EA \cdot EB$

Теперь рассмотрим точку E и вторую окружность (с центром $O_2$). Прямая CD является касательной ко второй окружности в точке D, а прямая AB — секущей, пересекающей её в тех же точках A и B.

Применяя ту же теорему для второй окружности, получаем аналогичное соотношение:

$ED^2 = EA \cdot EB$

Сравнивая два полученных равенства, мы видим, что их правые части равны. Следовательно, должны быть равны и левые части:

$EC^2 = ED^2$

Поскольку длины отрезков EC и ED являются положительными величинами, из равенства их квадратов следует равенство самих длин:

$EC = ED$

Таким образом, точка E делит отрезок CD пополам, то есть является его серединой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: прямая AB пересекает отрезок CD в его середине E, так как $EC=ED$.

16. Повторите формулы площади треугольника.

Существует несколько основных формул для вычисления площади треугольника, выбор которых зависит от известных данных о треугольнике.

1. Через основание и высоту
Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на длину высоты, проведенной к этому основанию. Пусть a — это сторона треугольника (основание), а h_a — высота, опущенная на эту сторону.
Ответ: $S = \frac{1}{2} a h_a$

2. Через две стороны и угол между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Пусть a и b — две стороны треугольника, а γ — угол, заключенный между этими сторонами.
Ответ: $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$

3. Формула Герона (через три стороны)
Если известны длины всех трех сторон треугольника a, b, c, то его площадь можно найти с помощью формулы Герона. Сначала вычисляется полупериметр p.
Полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2}$
Ответ: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

4. Через радиус вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Пусть p — полупериметр, а r — радиус вписанной окружности.
Ответ: $S = p \cdot r$

5. Через радиус описанной окружности
Площадь треугольника можно вычислить через произведение длин всех его сторон, деленное на учетверенный радиус описанной окружности. Пусть a, b, c — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.
Ответ: $S = \frac{abc}{4R}$

6. Для прямоугольного треугольника
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Пусть a и b — катеты прямоугольного треугольника.
Ответ: $S = \frac{1}{2} ab$

7. Для равностороннего треугольника
Площадь равностороннего треугольника можно найти, зная только длину его стороны a.
Ответ: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

17. Используя рисунок 19.13, выразите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, через стороны и площадь этого треугольника.

Рис. 19.13

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Обозначим его площадь как $S$. В этот треугольник вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$.

Как показано на рисунке, мы можем соединить центр вписанной окружности $O$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Это действие разбивает исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $AOB$, $BOC$ и $COA$. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих трех треугольников:

$S = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}$

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (в данном случае — стороне треугольника). Это означает, что радиус $r$ является высотой для каждого из трех малых треугольников ($AOB$, $BOC$ и $COA$), проведенной из общей вершины $O$ к основаниям $c$, $a$ и $b$ соответственно.

Площадь каждого из этих треугольников вычисляется по формуле: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота$.

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$
$S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$
$S_{COA} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$

Теперь подставим выражения для площадей малых треугольников в формулу для площади большого треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$

Чтобы выразить радиус $r$, умножим обе части уравнения на 2 и разделим на сумму сторон $(a+b+c)$, которая является периметром треугольника:

$2S = r(a+b+c)$

$r = \frac{2S}{a+b+c}$

Таким образом, мы выразили радиус вписанной окружности через площадь треугольника и его стороны.

Ответ: $r = \frac{2S}{a+b+c}$