Страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

16. На рисунке 18.11 изображена окружность и хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $E$. Докажите, что треугольники $ACE$ и $DBE$ подобны.

16. Для доказательства подобия треугольников $ACE$ и $DBE$ воспользуемся первым признаком подобия треугольников, который гласит, что если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ACE$ и $DBE$.

1. Углы $\angle AEC$ и $\angle DEB$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении хорд $AB$ и $CD$. Таким образом, $\angle AEC = \angle DEB$.

2. Углы $\angle ACD$ и $\angle ABD$ являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу $AD$. По свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу, они равны. Следовательно, $\angle ACE = \angle DBE$.

(В качестве альтернативы можно было рассмотреть углы $\angle CAB$ и $\angle CDB$, которые опираются на дугу $CB$, и они также были бы равны.)

Поскольку мы нашли две пары соответственно равных углов ($\angle AEC = \angle DEB$ и $\angle ACE = \angle DBE$), мы можем заключить, что треугольники $ACE$ и $DBE$ подобны по двум углам.

Таким образом, $\triangle ACE \sim \triangle DBE$, что и требовалось доказать.

Ответ: Подобие треугольников $ACE$ и $DBE$ доказано на основании равенства двух пар углов: одной пары как вертикальных углов ($\angle AEC$ и $\angle DEB$) и другой пары как вписанных углов, опирающихся на одну дугу ($\angle ACE$ и $\angle DBE$).