Страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $H$ (рис. 17.21). Докажите, что треугольники $ABH$ и $EDH$ подобны.

Рис. 17.21

Рассмотрим треугольники AEH и BDH.

Поскольку AD и BE являются высотами треугольника ABC, они перпендикулярны сторонам BC и AC соответственно. Следовательно, треугольники BDH и AEH являются прямоугольными.

В этих треугольниках:

1. $\angle BDH = 90^\circ$ (так как AD - высота).

2. $\angle AEH = 90^\circ$ (так как BE - высота).

3. $\angle BHD = \angle AHE$ (как вертикальные углы).

Таким образом, треугольники AEH и BDH подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников). В записи подобия важен порядок вершин: $\triangle AEH \sim \triangle BDH$.

Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{AH}{BH} = \frac{EH}{DH} = \frac{AE}{BD}$

Возьмем первую часть этой пропорции $\frac{AH}{BH} = \frac{EH}{DH}$ и преобразуем ее, используя свойство пропорции (поменяв местами средние члены):

$\frac{AH}{EH} = \frac{BH}{DH}$

Теперь рассмотрим треугольники ABH и EDH, подобие которых нам нужно доказать.

1. Угол $\angle AHB$ в треугольнике ABH равен углу $\angle EHD$ в треугольнике EDH, так как они являются вертикальными: $\angle AHB = \angle EHD$.

2. Стороны, образующие эти углы, пропорциональны, как мы показали выше: $\frac{AH}{EH} = \frac{BH}{DH}$.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольники ABH и EDH подобны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

25. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $H$. Используя рисунок $17.21$, докажите, что треугольники $ABC$ и $DEC$ подобны.

Рис. 17.21

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $DEC$ воспользуемся признаком подобия по двум углам. Нам нужно показать, что две пары углов этих треугольников соответственно равны.

1. Найдём первую пару равных углов.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$. Угол при вершине $C$ у них является общим. Таким образом, $\angle ACB = \angle DCE$.

2. Найдём вторую пару равных углов.
По условию, $AD$ и $BE$ — высоты треугольника $ABC$. Это означает, что $AD \perp BC$ и $BE \perp AC$. Следовательно, углы $\angle ADB$ и $\angle AEB$ являются прямыми: $\angle ADB = 90^\circ$ и $\angle AEB = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $ABDE$. Так как углы $\angle AEB$ и $\angle ADB$ оба равны $90^\circ$ и опираются на один и тот же отрезок $AB$, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность (с диаметром $AB$). Четырехугольник, который можно вписать в окружность, называется вписанным.

Одно из свойств вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Для четырехугольника $ABDE$ это означает, что $\angle AED + \angle ABD = 180^\circ$.

Точка $E$ лежит на стороне $AC$, поэтому точки $A, E, C$ лежат на одной прямой. Углы $\angle AED$ и $\angle CED$ являются смежными, и их сумма также равна $180^\circ$: $\angle AED + \angle CED = 180^\circ$.

Из двух полученных равенств:
$\angle AED + \angle ABD = 180^\circ$
$\angle AED + \angle CED = 180^\circ$
следует, что $\angle ABD = \angle CED$.

Угол $\angle ABD$ — это тот же самый угол, что и $\angle ABC$ в треугольнике $ABC$. Следовательно, $\angle ABC = \angle CED$.

3. Заключение.
Мы установили, что в треугольниках $ABC$ и $DEC$ есть две пары равных углов:

• $\angle ACB = \angle DCE$ (общий угол)
• $\angle ABC = \angle CED$ (как доказано выше)

Ответ: Треугольники $ABC$ и $DEC$ подобны по двум углам. Угол $C$ у них общий. Равенство углов $\angle ABC = \angle CED$ доказывается с использованием свойства вписанного четырехугольника $ABDE$ (точки $A, B, D, E$ лежат на одной окружности, так как высоты $AD$ и $BE$ образуют прямые углы $\angle ADB$ и $\angle AEB$, опирающиеся на отрезок $AB$).

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

26. На рисунке 17.22 изображена окружность и хорды $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $C$. Попробуйте выразить угол $\angle ACB$ через углы $\angle ADB$ и $\angle DBE$.

Рис. 17.22

Для того чтобы выразить угол $ACB$ через углы $ADB$ и $DBE$, рассмотрим треугольник $\triangle ACE$.

Угол $\angle ACB$ является внешним углом для треугольника $\triangle ACE$ при вершине $C$, так как он смежный с внутренним углом $\angle ACE$. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Следовательно, можем записать равенство:

$\angle ACB = \angle CAE + \angle AEC$

Теперь рассмотрим углы, вписанные в окружность. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

1. Углы $\angle CAE$ (тот же, что и $\angle DAE$) и $\angle DBE$ оба являются вписанными и опираются на дугу $DE$. Значит, они равны:

$\angle CAE = \angle DBE$

2. Углы $\angle AEC$ (тот же, что и $\angle AEB$) и $\angle ADB$ оба являются вписанными и опираются на дугу $AB$. Значит, они также равны:

$\angle AEC = \angle ADB$

Подставим эти выражения для $\angle CAE$ и $\angle AEC$ в исходную формулу для внешнего угла $\angle ACB$:

$\angle ACB = \angle DBE + \angle ADB$

Таким образом, угол $ACB$ равен сумме углов $ADB$ и $DBE$.

Ответ: $\angle ACB = \angle ADB + \angle DBE$.