Страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Обоснуйте это самостоятельно.

Обоснуйте это самостоятельно.

Обоснуйте это самостоятельно.

Рассмотрим утверждение: сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Пусть дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Обозначим его углы как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$. Проведем через вершину $B$ прямую $DE$, параллельную стороне $AC$.

Угол $\angle DBE$ является развернутым, следовательно, его градусная мера составляет $180^\circ$. Этот угол состоит из трех углов: $\angle DBA$, $\angle ABC$ и $\angle CBE$. Таким образом, мы можем записать:
$\angle DBA + \angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$

Теперь рассмотрим углы, образованные при пересечении параллельных прямых $AC$ и $DE$ секущими $AB$ и $BC$.
Углы $\angle DBA$ и $\angle BAC$ (то есть $\angle A$) являются накрест лежащими при параллельных прямых $AC$ и $DE$ и секущей $AB$. Следовательно, $\angle DBA = \angle A$.
Аналогично, углы $\angle CBE$ и $\angle BCA$ (то есть $\angle C$) являются накрест лежащими при параллельных прямых $AC$ и $DE$ и секущей $BC$. Следовательно, $\angle CBE = \angle C$.

Подставим полученные равенства в уравнение для развернутого угла:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Обоснуйте это самостоятельно.

Выведем формулу для нахождения корней квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$.

1. Разделим обе части уравнения на коэффициент $a$, так как он не равен нулю:
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

2. Перенесем свободный член $\frac{c}{a}$ в правую часть уравнения:
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$

3. Дополним левую часть до полного квадрата. Для этого представим слагаемое $\frac{b}{a}x$ как удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a}$. Чтобы получить полный квадрат вида $(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$, необходимо прибавить к левой части квадрат второго члена, то есть $(\frac{b}{2a})^2$. Чтобы равенство сохранилось, прибавим это же выражение и к правой части:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$

4. Свернем левую часть по формуле квадрата суммы и преобразуем правую часть, приведя дроби к общему знаменателю $4a^2$:
$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

5. Величина $D = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом. Если $D \ge 0$, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

6. Выразим $x$, перенеся $\frac{b}{2a}$ в правую часть:
$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

7. Объединим дроби в правой части, чтобы получить окончательную формулу:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Это и есть формула корней квадратного уравнения.

Ответ: Корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.