Страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Найдите величину угла $ACB$ (рис. 17.16).

Рис. 17.16

Для нахождения величины угла $ACB$ введем на клетчатой плоскости декартову систему координат. Примем сторону одной клетки за единицу длины. Расположим начало координат так, чтобы точка $C$ имела координаты $(0, 0)$. Тогда, судя по рисунку, другие вершины треугольника будут иметь следующие координаты: точка $A(4, 0)$ и точка $B(2, 4)$.

Чтобы найти тангенс угла $ACB$, можно опустить перпендикуляр из точки $B$ на ось $Ox$ (на которой лежит сторона $AC$). Пусть основание этого перпендикуляра — точка $P$. Координаты точки $P$ будут $(2, 0)$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BPC$ с прямым углом в точке $P$. Длины катетов этого треугольника равны:

$PC = |x_P - x_C| = |2 - 0| = 2$.

$BP = |y_B - y_P| = |4 - 0| = 4$.

Поскольку точки $A$, $P$, $C$ лежат на одной прямой ($y=0$), искомый угол $ACB$ совпадает с углом $BCP$ в прямоугольном треугольнике $BPC$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

$ \tan(\angle ACB) = \tan(\angle BCP) = \frac{BP}{PC} = \frac{4}{2} = 2 $.

Таким образом, величина угла $ACB$ — это угол, тангенс которого равен 2. В математике такой угол обозначается как $ \arctan(2) $. Если требуется значение в градусах, оно составляет примерно $63.4^\circ$.

Ответ: $ \arctan(2) $.

17. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ – хорда этой окружности. По условию, длина хорды равна радиусу, то есть $AB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный концами хорды $A$, $B$ и центром окружности $O$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому их длины равны $R$: $OA = R$, $OB = R$.

Таким образом, все стороны треугольника $\triangle AOB$ равны между собой: $OA = OB = AB = R$. Это означает, что $\triangle AOB$ — равносторонний треугольник.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на хорду $AB$, равен $60^\circ$.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Вписанный угол, о котором говорится в задаче, должен быть острым. Острый вписанный угол опирается на меньшую дугу, стягиваемую хордой $AB$. Градусная мера этой дуги равна соответствующему ей центральному углу, то есть $60^\circ$.

Найдем величину острого вписанного угла (обозначим его $\alpha$):
$\alpha = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Заметим, что существует и второй вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, но он является тупым, так как опирается на большую дугу. Его величина была бы равна $\frac{1}{2} \cdot (360^\circ - 60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 300^\circ = 150^\circ$.

Поскольку вопрос касается именно острого угла, искомое значение равно $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

18. Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Пусть в окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R$ проведена хорда $AB$. По условию задачи, длина этой хорды равна радиусу окружности: $AB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный концами хорды $A$, $B$ и центром окружности $O$. Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами окружности, поэтому $OA = R$ и $OB = R$. Так как по условию и хорда $AB = R$, то все стороны треугольника $\triangle AOB$ равны между собой. Следовательно, этот треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$. Значит, центральный угол $\angle AOB$, который опирается на хорду $AB$, равен $60^\circ$.

Центральный угол определяет градусную меру дуги, на которую он опирается. Таким образом, хорда $AB$ стягивает меньшую дугу, градусная мера которой составляет $60^\circ$.

Хорда делит окружность на две дуги. Большая дуга будет равна разности полной окружности и меньшей дуги:$360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. На хорду $AB$ могут опираться два вписанных угла: один острый, другой тупой.

• Острый вписанный угол опирается на меньшую дугу и равен $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
• Тупой вписанный угол опирается на большую дугу и равен $\frac{300^\circ}{2} = 150^\circ$.

В задаче требуется найти именно тупой угол.

Ответ: $150^\circ$.

19. Через концы дуги в 60° проведены касательные. Найдите угол между ними (рис. 17.17).

Рис. 17.17

Пусть $O$ — центр окружности. Точки $A$ и $B$ — концы дуги, градусная мера которой по условию равна $60^\circ$. $CA$ и $CB$ — касательные к окружности, проведенные через точки $A$ и $B$ соответственно. Нам необходимо найти угол $\angle ACB$.

1. Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма углов любого четырехугольника равна $360^\circ$.

2. Центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу $AB$. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, $\angle AOB = 60^\circ$.

3. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, радиус $OA$ перпендикулярен касательной $AC$, а радиус $OB$ перпендикулярен касательной $BC$. Отсюда следует, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми:

$\angle OAC = 90^\circ$

$\angle OBC = 90^\circ$

4. Теперь мы знаем три из четырех углов четырехугольника $OACB$. Запишем сумму углов этого четырехугольника:

$\angle ACB + \angle OAC + \angle AOB + \angle OBC = 360^\circ$

5. Подставим известные значения углов в формулу:

$\angle ACB + 90^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle ACB + 240^\circ = 360^\circ$

6. Найдем искомый угол $\angle ACB$:

$\angle ACB = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

20. Укажите способ нахождения центра окружности с помощью угольника.

Для нахождения центра окружности с помощью угольника используется свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр. Согласно этому свойству, любой вписанный угол, стороны которого проходят через концы диаметра, является прямым, то есть равен $90^\circ$. Поскольку у стандартного угольника есть прямой угол, его можно использовать для построения диаметра.

Алгоритм нахождения центра следующий:

1. Возьмите угольник и приложите его к окружности так, чтобы вершина прямого угла ($90^\circ$) находилась на самой окружности. Обозначим эту точку как $A$.

2. Две стороны угольника, образующие прямой угол, пересекут окружность в двух других точках. Обозначим эти точки пересечения как $B$ и $C$.

3. Соедините точки $B$ и $C$ прямой линией. Полученный отрезок $BC$ будет являться диаметром данной окружности, так как вписанный угол $\angle BAC$ прямой и, следовательно, опирается на диаметр.

4. Теперь необходимо построить второй диаметр. Для этого выберите любую другую точку на окружности, отличную от $A$, и повторите шаги 1-3. В результате будет построен еще один диаметр, например, $DE$.

5. Два построенных диаметра ($BC$ и $DE$) пересекутся в одной точке. Эта точка пересечения и является центром окружности.

Ответ: Необходимо построить два диаметра, используя прямой угол угольника. Для этого вершину прямого угла угольника последовательно помещают в две разные точки на окружности и каждый раз соединяют отрезком точки, в которых стороны угла пересекают окружность. Точка пересечения этих двух отрезков (диаметров) и будет центром окружности.

21. Докажите, что если хорды $AC$ и $BD$ окружности параллельны, то дуги $\widehat{AB}$ и $\widehat{CD}$, заключенные между этими хордами, равны (рис. 17.18).

Рис. 17.18

Для доказательства данного утверждения выполним дополнительное построение и воспользуемся свойствами вписанных углов окружности.

Доказательство:

1. Соединим точки $A$ и $D$ отрезком, получив хорду $AD$. Эта хорда будет служить секущей для параллельных хорд $AC$ и $BD$.

2. Рассмотрим углы $\angle CAD$ и $\angle BDA$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых $AC$ и $BD$ секущей $AD$.

3. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны. Следовательно, мы можем записать равенство: $\angle CAD = \angle BDA$.

4. Угол $\angle CAD$ является вписанным в окружность. Он опирается на дугу $CD$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $\angle CAD = \frac{1}{2} \smile CD$.

5. Аналогично, угол $\angle BDA$ также является вписанным в окружность и опирается на дугу $AB$. Его величина равна половине градусной меры дуги $AB$: $\angle BDA = \frac{1}{2} \smile AB$.

6. Так как мы установили, что $\angle CAD = \angle BDA$, то равны и половины дуг, на которые они опираются: $\frac{1}{2} \smile CD = \frac{1}{2} \smile AB$.

7. Умножив обе части этого равенства на 2, получаем, что градусные меры дуг равны: $\smile CD = \smile AB$.

Таким образом, утверждение доказано: дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны.

Ответ: Дуги $\smile AB$ и $\smile CD$ равны.

22. Из точки $A$ пересечения двух окружностей проведены их диаметры $AB$ и $AC$. Докажите, что точки $B$, $C$ и вторая точка $D$ пересечения окружностей принадлежат одной прямой (рис. 17.19).

Рис. 17.19

Пусть даны две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$, которые пересекаются в точках $A$ и $D$. Из точки $A$ проведены диаметр $AB$ первой окружности и диаметр $AC$ второй окружности. Требуется доказать, что точки $B$, $C$ и вторая точка пересечения окружностей $D$ лежат на одной прямой.

Доказательство:

1. Соединим точку $D$ с точками $B$ и $C$. Рассмотрим треугольник $ADB$. Этот треугольник вписан в первую окружность, а его сторона $AB$ является диаметром этой окружности. Угол $∠ADB$ — это вписанный угол, который опирается на диаметр $AB$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, его величина равна $90°$. Следовательно, $∠ADB = 90°$. Это означает, что отрезок $BD$ перпендикулярен отрезку $AD$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Этот треугольник вписан во вторую окружность, а его сторона $AC$ является диаметром этой окружности. Угол $∠ADC$ — это вписанный угол, который опирается на диаметр $AC$. Аналогично предыдущему пункту, $∠ADC = 90°$. Это означает, что отрезок $CD$ также перпендикулярен отрезку $AD$.

3. Мы имеем два отрезка, $BD$ и $CD$, которые выходят из одной точки $D$ и оба перпендикулярны одному и тому же отрезку $AD$. Из аксиомы геометрии следует, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной. В нашем случае, поскольку оба луча $DB$ и $DC$ перпендикулярны прямой $AD$ и исходят из одной точки $D$, они должны лежать на одной прямой.

4. Также можно рассмотреть угол $∠BDC$. Этот угол является суммой углов $∠ADB$ и $∠ADC$, так как они примыкают друг к другу.$∠BDC = ∠ADB + ∠ADC = 90° + 90° = 180°$.

Поскольку угол $∠BDC$ равен $180°$, он является развернутым углом. Это означает, что точки $B$, $D$ и $C$ лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Углы $∠ADB$ и $∠ADC$ являются вписанными и опираются на диаметры $AB$ и $AC$ соответственно, поэтому каждый из них равен $90°$. Сумма этих углов $∠BDC = ∠ADB + ∠ADC = 90° + 90° = 180°$, что означает, что угол $∠BDC$ — развернутый, а точки $B$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

23. К двум окружностям, касающимся внешним образом в точке $A$, проведена общая касательная $BC$ ($B$ и $C$ — точки касания). Докажите, что угол $\angle BAC$ — прямой (рис. 17.20).

Рис. 17.20

Для доказательства того, что угол $BAC$ является прямым, воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки.

1. Проведем через точку $A$ (точку касания двух окружностей) общую касательную к этим окружностям. Пусть эта касательная пересекает прямую $BC$ в точке $M$.

2. Рассмотрим окружность с центром $O_1$. Отрезки $MA$ и $MB$ являются касательными к этой окружности, проведенными из одной точки $M$. Согласно свойству касательных, проведенных из одной точки, их длины равны: $MA = MB$.

3. Поскольку $MA = MB$, треугольник $AMB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle MAB = \angle MBA$.

4. Аналогично рассмотрим окружность с центром $O_2$. Отрезки $MA$ и $MC$ являются касательными к этой окружности, проведенными из точки $M$. Следовательно, их длины также равны: $MA = MC$.

5. Поскольку $MA = MC$, треугольник $AMC$ является равнобедренным. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle MAC = \angle MCA$.

6. Таким образом, в треугольнике $ABC$ точка $M$ на стороне $BC$ такова, что $MA = MB = MC$. Это означает, что $M$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, а отрезок $BC$ — её диаметром. Медиана $AM$ равна половине стороны $BC$, к которой она проведена.

7. По свойству треугольника, если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник является прямоугольным. Угол, противолежащий этой стороне (в данном случае $\angle BAC$), является прямым.

Можно также завершить доказательство через сумму углов треугольника:

Пусть $\angle MAB = \angle MBA = \alpha$ и $\angle MAC = \angle MCA = \beta$.

Тогда угол $\angle BAC = \angle MAB + \angle MAC = \alpha + \beta$.

Рассмотрим сумму углов треугольника $ABC$: $\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^\circ$

Подставим наши обозначения: $\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$

$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$

$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Поскольку $\angle BAC = \alpha + \beta$, то $\angle BAC = 90^\circ$.

Ответ: Угол $BAC$ является прямым, что и требовалось доказать.