Страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сформулируйте теорему косинусов.

2. Почему теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора?

3. Сформулируйте теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

4. Сформулируйте теорему о медиане треугольника.

5. Как выражается площадь треугольника через его стороны?

1. Сформулируйте теорему косинусов.

Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Ответ: Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, формула выглядит так: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

2. Почему теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора?

Теорема косинусов является обобщением, так как она применима к любому треугольнику, в то время как теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, применимым только для прямоугольных треугольников. Если в формуле теоремы косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$ угол $\gamma$ является прямым, то есть $\gamma = 90^\circ$, то его косинус равен нулю ($\cos(90^\circ) = 0$). В этом случае слагаемое $-2ab \cos(\gamma)$ обращается в ноль, и формула принимает вид $c^2 = a^2 + b^2$, что и является формулировкой теоремы Пифагора.

Ответ: Потому что при подстановке в формулу теоремы косинусов прямого угла ($\gamma = 90^\circ$, $\cos(\gamma)=0$) она превращается в теорему Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$).

3. Сформулируйте теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его четырех сторон. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, это также можно сформулировать так: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов двух его смежных сторон. Эта теорема является прямым следствием теоремы косинусов.

Ответ: Если $a$ и $b$ — длины смежных сторон параллелограмма, а $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, то теорема выражается формулой: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

4. Сформулируйте теорему о медиане треугольника.

Теорема о медиане (также известная как теорема Аполлония) позволяет вычислить длину медианы треугольника через длины его сторон. Формулировка теоремы: сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенному квадрату медианы, проведенной к третьей стороне, сложенному с половиной квадрата этой третьей стороны ($a^2+b^2 = 2m_c^2 + \frac{c^2}{2}$). Из этой формулы можно выразить длину медианы.

Ответ: Длина медианы $m_c$, проведенной к стороне $c$ треугольника со сторонами $a, b, c$, выражается формулой: $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$.

5. Как выражается площадь треугольника через его стороны?

Площадь треугольника можно выразить через длины его трех сторон с помощью формулы Герона. Для применения этой формулы необходимо сначала вычислить полупериметр треугольника, который равен половине суммы длин всех его сторон.

Ответ: Площадь треугольника $S$ со сторонами $a, b, c$ и полупериметром $p = \frac{a+b+c}{2}$ вычисляется по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

1. При каких значениях угла треугольника квадрат стороны, лежащей против этого угла:

а) меньше суммы квадратов двух других сторон;

б) равен сумме квадратов двух других сторон;

в) больше суммы квадратов двух других сторон?

Для решения этой задачи воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Рассмотрим треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, который лежит напротив стороны $c$. Теорема косинусов гласит:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Из этой формулы мы можем сравнить $c^2$ с суммой $a^2 + b^2$. Результат сравнения зависит от знака слагаемого $-2ab \cos(\gamma)$. Так как длины сторон $a$ и $b$ всегда положительны, знак этого выражения определяется знаком $\cos(\gamma)$. Угол треугольника $\gamma$ может принимать значения в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$.

а) меньше суммы квадратов двух других сторон

Требуется найти значения угла $\gamma$, при которых выполняется неравенство $c^2 < a^2 + b^2$.
Подставим в него выражение для $c^2$ из теоремы косинусов:
$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) < a^2 + b^2$
Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:
$-2ab \cos(\gamma) < 0$
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то $2ab > 0$. Разделив неравенство на отрицательное число $-2ab$, мы должны изменить знак неравенства на противоположный:
$\cos(\gamma) > 0$
Косинус угла положителен, если этот угол является острым. Для угла треугольника это означает, что $0^\circ < \gamma < 90^\circ$.
Ответ: Угол должен быть острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$).

б) равен сумме квадратов двух других сторон

Требуется найти значения угла $\gamma$, при которых выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$. Это соотношение является теоремой Пифагора.
Снова используем теорему косинусов:
$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2$
Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:
$-2ab \cos(\gamma) = 0$
Так как $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то для выполнения равенства необходимо, чтобы:
$\cos(\gamma) = 0$
Косинус угла равен нулю, если этот угол является прямым. Для угла треугольника это означает, что $\gamma = 90^\circ$.
Ответ: Угол должен быть прямым ($90^\circ$).

в) больше суммы квадратов двух других сторон

Требуется найти значения угла $\gamma$, при которых выполняется неравенство $c^2 > a^2 + b^2$.
Подставим выражение для $c^2$:
$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) > a^2 + b^2$
Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:
$-2ab \cos(\gamma) > 0$
Разделим неравенство на отрицательное число $-2ab$ и сменим знак неравенства:
$\cos(\gamma) < 0$
Косинус угла отрицателен, если этот угол является тупым. Для угла треугольника это означает, что $90^\circ < \gamma < 180^\circ$.
Ответ: Угол должен быть тупым (от $90^\circ$ до $180^\circ$).